Кот подрался на улице, на месте глубокой царапины появилась шишка, вокруг царапины. Что это, и что с этим делать?

Похоже на абсцесс, надо его вскрывать и вычищать.

Нарыв там, гной скопился. Чем у людей лечат нарывы, тем и коту лечите. Мазь Вишневского, ихтиолка и пт

Лучше конечно пойти в вет. клинику, не смотря на карантин. Люди и в такое время идут лечить своих питомцев. Уверенна, что у вас в городе или в округе найдутся клиники, которые работают на сей момент. Никаких выдавливаний. В крайнем случае - продезинфицировать шишку и вскрыть стерилизованной иглой от стерилизованного шприца. Потом проспиртованной ватой удалить гной и наложить повязку с мазью Вишневского или левомеколем. Повязку менять каждый день. Предварительно промыв рану хлоргексидином. Удачи в лечении! Но помните, что самолечение не всегда заканчивается хорошо.

Несите к ветеринару, они принимают сейчас и вас пропустят так же, пусть вскрывает и чистит рану, заодно кастрирует и пусть дома сидит кот, не выпускайте его на улицу иначе не только подерется, а и помрет где нибудь

Без помощи ветеринара Вам не обойтись.
А еще не надо отправлять питомца на самовыгул (если вы не в селе живете, конечно). Сейчас раны, а потом и вовсе не придет, на улице множество опасностей: автомобили, собаки, живодеры, вирусы... Я живу в частном секторе, недалеко дорога с редким движением и почти каждый день на обочине валяются мертвые коты. Соседям говоришь - им все равно, они новых заводят и все повторяется, больше пяти лет их котики, к сожалению, не живут.