Существуют ли противоречия, которые не требуют логического разрешения?

Нет, не существует! Противоречие может быть только в разуме и его нужно исключать... Закон противоречия — это один из основных общелогических принципов, согласно которому в процессе рассуждения два взаимно противоречащих высказывания или суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении, то есть одно из них должно быть ложным.

такие противоречия называются вера )

это всецело зависит от вашего понимания логики.
и от той степени, в которой вы готовы удовлетвориться очевидным.
например, можно находиться в таком состоянии ума, что вам будет казаться непреодолимым противоречием то, что одна рука у вас левая, а другая правая... и та, и другая – рука.. но разныя...
или вот человек как таковой – он мужчина или женщина?
или вот бытие и небытие: как так может быть, что есть и то, и другое?? ведь если "есть небытие" – это же логическое противоречие в самом себе: если оно есть, то его нет, а если нет, то есть. но если его нет – получается, что нет ничего, кроме бытия? и так далее...
разрешить можно что угодно – но сначала надо понять, зачем это надо)

Да

Противоречия логически не разрешаются.

ну если диалектику заменить софистикой, то логика там ни разу не стояла

да, существуют и их бесконечное множество!
Ибо в каждом явлении и объекте есть такие противоречия, которые не существуют друг без друга!
Например:
ты сделал стол. Ножки стола ты сделал удобными, крепкими..., но именно в тех местах, которые укрепляют ножки стола, этот стол быстрее всего разрушится, т. к. именно на эти места крепления идёт максимальная нагрузка из внешнего мира.
Или
ты стал больше заниматься арифметикой, но тем самым, ты уменьшил время на любимое общение с друзьями...