Сострадание - это продукт логики или эмоций ?

Эмоций.

Это эмоция.

Сострадание это продукт мудрости.
Мудрость и Сострадание две стороны одной медали и не могут существовать одно без другого.

Конечно, не логики!)
Тот, кто цепляется за Пустоту
И пренебрегает Состраданием,
Не достигает высшей ступени.
Но тот, кто практикует только Сострадание,
Не достигает освобождения от сетей существования.
Тот же, однако, кто силён в практике обоих,
Не остаётся ни в Сансаре, ни в Нирване.
Чтобы развить сострадание ко всем живым существам, нам необходимо понять страдания всех различных живых существ в cансаре, все различные виды страдания», учил Лама Сопа Ринпоче в письме «Не единственная сложность в работе для других чувствующих существ», опубликованном в январском выпуске 2016 года в Архиве Мудрости Ламы Йеше. «Поэтому нам необходимо медитировать на том, что все это природа страдания. Тогда мы сможем развивать сострадание к каждому живому существу. Иначе наше сострадание очень ограничено.
Наше сострадание ограничено, если оно по отношению только к бедным людям, только к больным, только к умирающим. Поэтому нам нужно узнать различные виды страдания. Нам необходимо медитировать на этом, и тогда мы сами почувствуем, как это невыносимо переживать такие страдания. Когда это случается с нами, мы можем почувствовать сострадание к другим.
Например, когда у нас СПИД, мы чувствуем сострадание к людям, больным СПИДом. Мы чувствуем, как это невыносимо. Люди, у которых СПИД, чувствуют, как невыносимо тем, у кого СПИД. Потому что у них СПИД, и они не хотят испытывать это, они знают, что такое жить со СПИДом.
Поэтому на этапах пути прежде всего нам необходимо реализация, отречение от сансары. Тогда мы поймем невыносимые страдания других. Тогда возникнет сострадание. После этого, развив великое сострадание, чувство, как невыносимо страдание других живых существ, и взяв на себя ответственность, мы захотим освободить их от всех страданий. Так возникает сострадание.
Это ведет к Бодхичитте, взяв на себя ответственность, думая, «я сделаю это сам один. Я освобожу живых существ от всех страданий и их причин и приведу их к истинному счастью. Не только к временному, но к абсолютному счастью, особенному, наивысшему счастью, к просветлению. Поэтому мне нужно достичь просветления.

...хорошо бы без "или"...

Сострадание само эмоция. Все эмоции - это продукт эволюции, инструменты инстинкта.

Это состояние души.

Их взаимодействия.

Сострадание это сочувствие чужому страданию или несчастью, сопровождаемое желанием помочь.