Нужно ли форматировать карту-памяти после покупки??

почему бы и нет, главное что бы тебе нормально было, однако после форматирования (например из NTFS в FAT32) размер поменяется, и наоборот.
ах да, информацию ты потеряешь после форматирования.

Нужно!
Форматировать карту памяти (КП) нужно в фотоаппарате. Это - раз.
А два - KenRockwell рекомендует делать это после каждого соединения аппарата (КП) с компьютером и после использования этой КП в другом аппарате.

нужно, хотя бы для проверки.

Да, форматировать перед использованием желательно, в том устройстве, с которым оно будет использоваться.
Но защита от записи тут, возможно, не зависит от форматирования.

Посмотрите, как расположен переключатель, как на картинке ниже, возможно, что дело именно в нём.

Лучше отформатировать. Это про фотоаппараты.

в твоём случае, да

Почитай http://harddiskdrive.ru/obsluzhivanie-zhestkogo-diska/glavnaia/obsluzhivanie-zhestkogo-diska/programma-dlia-formatirovaniia-sd-kart.html

Переключатель на "lock" и всё должно нормализоваться. Но потом всё-равно форматировать в том устройстве, где будете эксплуатировать.

В фотике низкоуровневое, и обычное. После каждой съёмки.

Форматировать стоит, но лучше всего это делать в камере на которой будете использовать. После форматирования на компе фотоаппарат может не увидеть карту памяти.
Кроме того вы пишете про адаптер. Если у вас микро SD и вы взяли адаптер что бы использовать как обычную SD карту на фотоаппарате или видеокамере то не расстраивайтесь если будет камера тормозить или вообще не будет работать с этим адаптером. Такое часто бывает.
Для фото или видео камеры лучше возьмите не адаптер, а полноценную скоростную SD карту.

некоторые тапараты не поддерживают работу карты с адаптером...