На внутренней поверхности сферы радиуса R, вращающейся вокруг вертикальной оси с постой-
ной угловой скоростью ~ω, находится небольшое тело А (см. рис. ). Считая известным угол α,
найти минимальный коэффициент трения k min, при котором тело не сдвинется с места во время вращения?
Домашние задания: Физика
Задача по Физике. Неинерциальные системы исчисления.
Михаил Кузин
216
1. До обсуждения решения несколько общих соображений - важных для понимания.
Тело может проскальзывать относительно вращающейся сферы в двух направлениях.
а) в вертикальной плоскости - сверху вниз
б) в горизонтальной плоскости.
Случай "б)" полностью исключен. Представим себе аналог - движущаяся доска, на нее положили тело. Даже если в первые моменты времени есть проскальзывание тела относительно доски, тело разгоняется (движется ускоренно) под действием силы трения. И неизбежно придет момент времени, когда проскальзывание прекратиться - скорость тела сравняется со скоростью доски.
Вывод - нам надо рассмотреть только скольжение сверху вниз.
Качественно картинка ясна. Пусть нет вращения. Задача становится аналогом - тело на наклонной плоскости, угол наклона плоскости равен углу альфа в нашей задаче. Чем больше коэффициент трения, тем при большем угле наклона плоскости тело может удерживаться на ней. Если сфера вращается - увеличивается сила реакции опоры, а значит и сила трения и тело может залипать при еще больших углах. Если скорость вращения будет достаточно большой, то сила трания способна удержать тело при угле 90, т. е. в вертикальном положении.
2. А теперь решение.
(Я считаю, что угол альфа - угол между вертикалью и радиусом, проведенным от центра сферы к центру масс тела)
Укажите что, - будем считать что размеры тела много меншьше радиуса сферы и тело можно рассматривать, как материальную точку.
Переходим в систему отсчета (Нана, не система исчисления!!! -такого понятия в механике нет - система отсчета!!! За такие "оговорки" могут сразу 2 ставить) связанную с вращающейся сферой.
Ускорение точки, равномерно движущейся по окружности радиуса R равно
a=U^2/R или (т. к. U=wR) a=w^2 R и направлено к центру окружности. Чтобы это происходило - необходима сила F=am направленная к центру окр.
Если мы переходим в систему отсчета (СО), в которой эта точка неподвижна, эта система отсчета неинерциальная Т. к. движется с ускорением относительно инерциальной СО - Земли. Когда мы переходим в неинерциальную СО, чтобы "работали" законы механики необходимо ввести силу инерции.
Величина этой силы Fин=am (a=w^2 R), направлена она в противоположную сторону ускорения (в инерциальной СО ускорение - к центу, в неинерциальной СО сила инерции от центра
Итак рисуем тело на поверхности сферы. Рисуем силы - тяжести, реакции опоры (перпендикулярно поверхности, значит по радиусу к центру сферы), трения (по касательной к поверхности сферы, вверх) и силу инерции - направлена по горизонту от центра сферы, она дополнительно "прижимает" тело к поверхности. По горизонту, т. к. движение тела по окружности в горизонт. плоскости.
Далее выбираем оси координат. Есть 2 варианта
а) Вертикаль Y, горизонт X б) По радиусу от центра сферы к центру масс тела - это Х,
ей перпендикуляр вверх - Y.
План решения одинаков - м. б. во втором случае меньше вычислений.
Далее составляем два уравнения.
Сумма проекций сил на ось X - равна нулю
Сумма проекций сил на Y - равна нулю. Они равны нулю т. к. в этой системе отсчета тело неподвижно.
Решаем эту систему и находим ответ.
Тело может проскальзывать относительно вращающейся сферы в двух направлениях.
а) в вертикальной плоскости - сверху вниз
б) в горизонтальной плоскости.
Случай "б)" полностью исключен. Представим себе аналог - движущаяся доска, на нее положили тело. Даже если в первые моменты времени есть проскальзывание тела относительно доски, тело разгоняется (движется ускоренно) под действием силы трения. И неизбежно придет момент времени, когда проскальзывание прекратиться - скорость тела сравняется со скоростью доски.
Вывод - нам надо рассмотреть только скольжение сверху вниз.
Качественно картинка ясна. Пусть нет вращения. Задача становится аналогом - тело на наклонной плоскости, угол наклона плоскости равен углу альфа в нашей задаче. Чем больше коэффициент трения, тем при большем угле наклона плоскости тело может удерживаться на ней. Если сфера вращается - увеличивается сила реакции опоры, а значит и сила трения и тело может залипать при еще больших углах. Если скорость вращения будет достаточно большой, то сила трания способна удержать тело при угле 90, т. е. в вертикальном положении.
2. А теперь решение.
(Я считаю, что угол альфа - угол между вертикалью и радиусом, проведенным от центра сферы к центру масс тела)
Укажите что, - будем считать что размеры тела много меншьше радиуса сферы и тело можно рассматривать, как материальную точку.
Переходим в систему отсчета (Нана, не система исчисления!!! -такого понятия в механике нет - система отсчета!!! За такие "оговорки" могут сразу 2 ставить) связанную с вращающейся сферой.
Ускорение точки, равномерно движущейся по окружности радиуса R равно
a=U^2/R или (т. к. U=wR) a=w^2 R и направлено к центру окружности. Чтобы это происходило - необходима сила F=am направленная к центру окр.
Если мы переходим в систему отсчета (СО), в которой эта точка неподвижна, эта система отсчета неинерциальная Т. к. движется с ускорением относительно инерциальной СО - Земли. Когда мы переходим в неинерциальную СО, чтобы "работали" законы механики необходимо ввести силу инерции.
Величина этой силы Fин=am (a=w^2 R), направлена она в противоположную сторону ускорения (в инерциальной СО ускорение - к центу, в неинерциальной СО сила инерции от центра
Итак рисуем тело на поверхности сферы. Рисуем силы - тяжести, реакции опоры (перпендикулярно поверхности, значит по радиусу к центру сферы), трения (по касательной к поверхности сферы, вверх) и силу инерции - направлена по горизонту от центра сферы, она дополнительно "прижимает" тело к поверхности. По горизонту, т. к. движение тела по окружности в горизонт. плоскости.
Далее выбираем оси координат. Есть 2 варианта
а) Вертикаль Y, горизонт X б) По радиусу от центра сферы к центру масс тела - это Х,
ей перпендикуляр вверх - Y.
План решения одинаков - м. б. во втором случае меньше вычислений.
Далее составляем два уравнения.
Сумма проекций сил на ось X - равна нулю
Сумма проекций сил на Y - равна нулю. Они равны нулю т. к. в этой системе отсчета тело неподвижно.
Решаем эту систему и находим ответ.