кто нибудь знаком с теоремой Геделя и кто, что думает по этому поводу?

Теорема Геделя действительно содержательна, если ее понимать и уметь пользоваться. Обычно имеется в виду теорема о полноте, первая из двух из предыдущего ответа,

Что я про нее думаю.

Теорема Геделя полезна в Матлогике, откуда она появилась.

Теорему Геделя можно применять для обсуждения религиозных учений. Они обычно претендуют на полное объяснение всего происходящего в мире, т. е. полны в терминах логики. А полная система аксиом либо бесполезна, либо противоречива. В случае религий мы видим второе, часто одно и то же можно и доказать и опровергнуть.

Теорему можно использовать в философии. Обычно в гноссеологии, т. е. при обсуждении возможностей человека при познаии мира. Она же является камнем в сторону создания сильного Искуссвенного Интеллека. Она не говорит, что это невозможно, но лишний раз показывает, что это действительно сложная задача.

А еще теорему можно использовать в юриспруденции. Набор законов страны вегда противоречив и/или эти законы несложно обойти. Например, есть возможность ввести в России антисемитизм, не нарушая при этом ни одного дейсвующего закона. Что-то такое прелагал и сам Гедель, жаль не найти что именно он там придумал.

---
А что это за утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть? :-) То которое придумал Гедель. Его очень просто сказать, оно звучит так: "МЕНЯ НЕЛЬЗЯ ДОКАЗАТЬ". Его и в правду нельзя ни доказать, ни опровергнуть, это вполне очевидно логически. Но все равно то что я сказал недостаточно для доказательства, доказательство значительно длинее. Большая его часть состоит из объяснения, что такое "нельзя доказать". Не всегда можно объяснить что это значит в терминах системы аксиом, поэтому в теореме есть дополнительное требование, что система аксиом достаточно сильна, например, включает в себя арифметику.

Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику) , существует такая замкнутая формула F\,, что ни F\,, ни её отрицание \neg F не являются выводимыми в этой теории.
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.
Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931 году.
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику) , формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.
Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д. Эта теорема имеет широкие последствия как для математики, так и для философии, в частности, для онтологии и философии науки.
Парадокс лжеца: «То, что я утверждаю сейчас, ложно» .

Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.
Старик постоянно говорил, что всё вокруг — неправда.
Правда, потом оказалось, что он лгал.
Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание которое одновременно истинно и ложно. Если рассмотреть парадокс лжеца подробнее, то высказывание

* Данное высказывание — ложь

ложно, потому что это в нём и высказывается, однако любое высказывание A можно записать в виде

* Данное высказывание — истина. И A.

Таким образом парадокс лжеца превращается в

* Данное высказывание — истина и данное высказывание — ложь.

В данной записи парадокс лжеца не является парадоксом, последнее высказывание — ложь.

Утверждение, составляющее парадокс лжеца в формальной логике не доказуемо и не опровержимо. Поэтому считается, что данное высказывания вообще не является логическим утверждением.

Попытка разрешить парадокс приводит к обобщениям классической логики: например, тройственной логике или англ. Paraconsistent logic.

Близким к парадоксу лжеца высказыванием является теорема Гёделя о неполноте.

Интересно, вкладывается в эту теорему парадокс Всемогущества? Наверное многие встречались с вопросом: может ли Бог создать камень, который Он Сам не сможет поднять?

с популярной версией.
В принципе это люди всегда знали. Поэтому называем себя "верующими"