Является ли религия синонимом политики?

Нет. Религия это религия. Политика это политика

Два общественных института, но некоторые религии сотрудничают с политикой

Достаточный пример христианская церковь, верховное жречество в Вавилоне, Греции, Риме и Аравии.

Есть также такая вещь как клерикализм и жречество

Еще в древнем Шумере ослепленный духовным невежеством человек, поклонявшийся множеству придуманных им самим богов, пришел к мысли, что невозможно совместить постоянное угождение всем богам с необходимостью работать, воевать, вести семейную жизнь и прочее. И тогда он решил создать свои собственные каменные изображения, написать на них свои имена и выставить их в храме, чтобы они были полномочными посредниками, как бы ритуальной заменой их хозяев.
Нетрудно представить, как развивалась потом эта система отношений: место каменных «предстоятелей за народ» и посредников в общении с богами заняли живые «предстоятели за народ» - профессиональные жрецы (по-русски - священники, «те, кто освящают жертвы»), заверявшие, что с этой-то ролью они справятся, - проверить невидимое очень трудно. Чтобы верующие доверяли им общение с богами, был установлен особый ритуал - обряд посвящения в сан жреца, целью которого являлось подтверждение общиной получения этим священнослужителем как бы свыше особых полномочий быть эксклюзивным, незаменимым посредником во всех взаимоотношениях богов с людьми и людей с богами.
Как писал Макс Вебер, «откровение и меч... вводили новые отношения. Однако после смерти пророка или военного предводителя возникал вопрос о преемнике. Решался ли этот вопрос посредством... избрания по харизме, посредством назначения наследника рукоположением или по наследственной харизме, с этого момента всегда начиналось в том или ином виде господство правил... начинается процесс господства традиционализма... окружающие харизматического властителя ученики, апостолы, последователи становятся священниками, вассалами, прежде всего - должностными лицами».
Избранничество Богом, не зависящее от людей, подменяется человеческими правилами и человеческим же избранием на постоянную, по сути - профессиональную должность. А там, где есть профессиональная должность, появляется свой профессинальный клан, корпорация, имеющая свой клановый интерес. Широко известны и сейчас кланы жрецов Осириса и Исиды, Орфея и Аттиса, Митры, Ваала, Зевса и т. д. Для руководства отправлением культа они создавали сословия, или касты, в которые принимали только «посвященных». Для воздействия на массы жрецы применяли различные эффекты гипнотического характера и магию. Жреческие касты обладали несметными богатствами и политическим весом.
«Можно определять священнослужителей и как функционеров регулярно действующего, организованного предприятия по оказанию влияния на богов, в отличие от индивидуальных действий колдунов, происходящих от случая к случаю. Между крайними типами этой противоположности существует скользящая шкала переходов, но в своих "чистых" типах... признаком священства можно считать наличие каких-либо постоянных мест культа в сочетании с определенным аппаратом культа. Решающим для понятия священнослужителя можно считать то, что эти функционеры состоят... на службе обобществленного социального объединения, следовательно, являются его служащими и действуют исключительно в интересах его членов, а не как колдуны, свободные в своих действиях» (Макс Вебер) (Вебер М. Избранное: Образ общества. М., 1994. С. 69, 99.).
Жреческая каста, как бы облеченная эксклюзивными полномочиями на особые контакты с Небесами, стала «от имени Небес» претендовать на особый статус в обществе, на высшие судейские полномочия в оценках всей жизни общества.

по-разному бывает

Нет, конечно. Например, у Путина Кирюха на десятом месте, у Порошенко религиозных мотивов вообще не заметно, у главарей ДНР и ЛНР тоже.

нет, скорее антоним

Нет. Религия может обеспечивать политику полезными идеологическими средствами.

Нет, если не считать политику средством манипулирования сознанием как религию, которая таковой является.

Уже давно. С тех времен, как религию начали использовать в качестве рычага манипуляции.

Да.

религия-да, а вера-нет