Стоит ли указывать недокументрованный стаж в резюме?

Конечно, нужно указывать в резюме фактический опыт работы и фактические должности (если в договоре написано "секретарь", но реально Вы занимались скорее бухучетом, то смело пишите "бухгалтер такого-то участка".
Если укажете в резюме стаж по трудовой, у потенциального работодателя возникнет справедливый вопрос - а что Вы делали эти 4 месяца? Если хочется быть честной до самого конца, то опыт пишите по факту, а в комментариях указывайте, что официальное трудоустройство с такого-то по такое-то число.

Подтвердить Ваш фактический стаж сможет, например, бывший руководитель устно по телефону или письменно, написав рекомендательное письмо. Рекомендательное письмо - это не характеристика с места работы, гда указываются официальные данные. Рекомендательное письмо пишет не организация, не должностное лицо, а человек. И несет только ответственность за свои слова только сам рекомендатель. Так что организации-работодателю такое письмо не повредит.

Конечно, указывать.
По большому счету, работодателю плевать можете вы это подтвердит или нет.
всех беспокоит вопрос решите ли вы их проблемы, принесете ли вы пользу компании.
А 4 месяца подтвержденных или нет - это их не волнует.

стоит указывать это не как стажем, а как дополнительными возможностями (в дополнении) , если нет возможности рекомендации или подтверждения от бывшего руководства

Если это скажет о Вас хорошо, с точки зрения выбранной вакансии, то конечно укажите. Можно указать и сказать, что работали это время по договору, а не по трудовой.