Почему квадратный корень из х в квадрате равен х по модулю?

Просто примите это как факт, корня из отрицательного числа просто не бывает) Представьте себе, что у вас есть 4 рубля, т. е корень из 2 в квадрате, но -2 в квадрате всегда будет положительным числом, т. е. 4. А это значит, что при выносе из под корня будет модуль, который обращается в положительное число. Несомненно есть и отрицательные случаи, но в школе они не рассматриваются, так что не забивайте голову)

Это все следует из определения. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, квадрат которого равен а.
Т. е. 2^2=4 и (-2)^2=4. По определению кор из 4=2.
Если кор из (-2)^2.то =кор из 4=2.

Расстояние до точки М (-6) от начала отсчета O равно 6 единичным отрезкам (рис. 63). Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6.
http://www.coolmath.ru/images/stories/lessons/6class/pic63.gif (рисунок)

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а) .

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В (5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5.
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета O, т. е. удалена от нее на 0 единичных отрезков (см. рис. 63). Пишут: |0| = 0.
Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного — противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|.
http://www.coolmath.ru/lessons/8/444-modul-dejstvitelnogo-chisla.html

x*x=x²
(-x)*(-x)=x²
поэтому √x²=|x|
а что тут ещё надо выводить?

нельзя получить из √ что-то, используя отрицательное число, формулу написал какой-то дибил √x²=|x|, если бы это выглядело так: √x²=|x|;x>=0, то нахер возводить x по модулю?

Та потому что ты должен понимать что отрицательным не может быть корень. √а^2=а если а>0. √-а^2=-а если а<0. Пример:
√-2^2=2. То есть √а=-а. Это надо просто понять и все. -(-2)=2. -(-а) =а

Найти частные производные второго порядка: z = корень x квадрате - y квадрате