известно, что m,n - нечётные числа. Докажите, что (m² - n²):8, т. е нацело делится на 8

Пусть m = 2a + 1 и n = 2b + 1. Тогда
m² - n² = (2a + 1)² - (2b + 1)² = (2a + 1 - 2b - 1)(2a + 1 + 2b - 1) = 4(a - b)(a + b - 1).
Если a и b одинаковой чётности, то a - b чётное. Если числа m и n разной чётности, то m + n - 1 чётное.
То есть в полученном выражении первый множитель 4, а один из остальных делится на 2.
Таким образом всё выражение делится на 8.

(m+n)(m-n). Каждый множитель делится на 2, осталось доказать, что один из них делится на 4.

Так как m и n - нечетные, то m = 2*r + 1, n = 2*s + 1, где r, s - целые числа.
m^2 - n^2 = (m + n)*(m - n) = (2*r + 1 + 2*s + 1)*(2*r + 1 - 2*s - 1) = 2*(r + s + 1)*2*(r - s) = 4*(r + s + 1)*(r - s).
Если r и s оба четные, то (r - s) - четное, делится на 2, значит m^2 - n^2 делится на 8.
Если r - четное, s - нечетное (или наоборот) , то (r + s + 1) четное, делится на 2, значит m^2 - n^2 делится на 8.