Помогите решить диф. уравнения

a)
y' + y/x = x^2
x y' + y = x^3
x y' + x' y = x^3
(x y)' = x^3
d(xy) = x^3 dx
интегрируем:
xy = (1/4) x^4 + C
y = (1/4)x^3 + C/x
Учтем условие: y(1)=3
y(1) = 1/4 + C = 3
C = 3 - 1/4 = 11/4
Ответ:
y = (x^4+11)/(4x)
b)
Рассмотрим уравнение:
z'' + 2z' + z =0
ищем реш-е в виде: z = exp(kx)
Подставляем в ур-е:
exp(kx)'' + 2 exp(kx)' + exp(kx) = 0
(k^2 + 2k + 1) exp(kx) = 0
(k+1)^2 = 0
k = -1
Значит z = exp(-x) - реш-е уравнения.
Т. к. ур-е второго порядка, нужно еще одно независимое решение.
Ищем в виде: z = a exp(-x)
(a exp(-x))'' + 2 (a exp(-x))' + a exp(-x) = 0
[ a'' exp(-x) + 2 a' exp(-x)' + a exp(-x)'' ] + 2 [ a' exp(-x) + a exp(-x)' ] + a exp(-x) = 0
После упрощения:
a'' = 0
a = c1 x + c2
Т. е. решение: z = (c1 x + c2) exp(-x)
Тогда пара независимых решений:
z = exp(-x) и z = x exp(-x)
Найдем частное решение исходного уравнения:
y'' + 2y' + y = e^2x
Ищем в виде:
Yч = A e^2x
Подставляем в ур-е:
A e^2x'' + 2 A e^2x' + A e^2x = e^2x
9Ae^2x = e^2x
A = 1/9
Тогда общее решение:
Y = (1/9) e^2x + C1 exp(-x) + C2 x exp(-x)