Решение экзаменационной задачи по математике 1914 года.

Не выглядит сложной. Разве что для ЕГЭ.
Что мы знаем о прогрессии:

 a7 + a19 = 54

a10 = a9 × 3

a9 = a7 + 2d

a10 = a7 + 3d

a19 = a7 + 12d



d = 2 × a9

a8 = a9 - d = -a9

-(a1 + ... + a8) = a9 + ... + a16 

И сумма 24 членов превращается в сумму 8 членов с a17 по a24. Но это - так, лёгкая оптимизация. Исходя из суммы 7-го и 19-го членов:

 2a7 + 12d = 54

a7 + 2d = d / 2 

Отсюда находим d и a7:

 2a7 + 3d = 0

9d = 54

d = 6

a7 = -1.5d = -9

a9 = d / 2 = 3

a17 = a9 + 8d = 51 

И т.д.

 a17 + ... + a24 = a17 × 8 + 4 × 7 × d =

  = 51 × 8 + 28 × 6 = 576 

Это - стоимость всей сделки.

Далее, наше архисложное уравнение:

 n - √(n² - 5n + 1) = 3

√(n² - 5n + 1) = n - 3

n² - 5n + 1 = n² - 6n + 9 > 0

n = 8 

Кол-во единиц - это 8? Тогда помещику досталось на 8 лошадей меньше. Пусть он сторговал k лошадей по цене p:

 (k - 8) × (p + 18) = 500

k × p = 576 

Решаем хоть в лоб, хоть как:

 p = 576 / k

(k - 8) × (576 / k + 18) = 500 

Ясен пень, что k ≠ 0, не о пустом же наборе лошадей там речь. И попутно сократим всё это на 2 и временно вынесем 9 за скобки:

 576 = 144 × 4 = 36 × 4 × 4 = 18 × 

(k - 8) × 9(8 + k) = 250k

9(k² - 64) = 250k

9k² - 250k - 576 = 0 

Можно дискриминанты в лоб считать, но мы же знаем, что помещик не сядет на половину коня. Попробуем "взломать" множители удобного составного числа:

 (9k² - m × k) + ((m - 250) × k - 576) = 0

9/m = (m - 250)/576 

где m - натуральное число, кратное 9 и большее 250

 576 = 18 × 32 

(k - 8) × 9(32 + k) = 250k 

9(k² + 24k - 256) = 250k

9k² + 216k - 250k - 2304 = 0

9k² - 34k - 2304 = 0 

 9k² - 162k + 128k - 2304 = 0

9k × (k - 18) + 128 × (k - 18) = 0

k = 18 

 p = 576 / k = 32 

 pk - 8p + 18k - 144 = 500

576 - 8p + 18k - 144 = 500

18k - 8p = 68

9k - 4p = 34 

 p = 32

k = 18

162 - 128 = 34

32 × 18 = 576 

Сильно