при каких значениях m уравнение x в кубе + 8x в квадрате минус mx=0 имеет два различных корня.

При m = - 16

х (х^2 + 8x - m) = 0
х1 = 0
х^2 + 8x - m = 0
D/4 = 16+m
16 + m= 0
m = - 16

При m = 16

Ещё при м=0. Вот этот случай 9-классники и не рассмотрели.

при любых положительных
x3 + 8x2 - mx = 0
x (x2 + 8x - mx) = 0
один корень будем равен нулю, это очевидно.
что бы найти другой (другие) напишем чему равен дескрименант для скобки:
D = b2 - 4ac = 64 + 4m. уравнение нельзя решить если дискременант отрицаетльный, следовательно m должно быть больше или равно нулю

При m равно - 16

х (х^2 + 8x - m) = 0
Произвндение равно 0, если хоть один из множителей равен 0, то
х1 = 0 или
х^2 + 8x - m = 0, решаем квадратное уравнение.
D/4 = 16+m,
но х^2 + 8x - m = 0 будет иметь 2 корня, если D/4 больше 0, то
16 + m больше 0, значит,
m больше - 16, а в этом случае х (х^2 + 8x - m) = 0
будет иметь более 2 корней.
Значит, только если D/4=0, то кроме
х1 = 0, уравнение х (х^2 + 8x - m) = 0 будет иметь ещё 1 корень,
х2= -4,
тогда m = - 16.