В отпуск по уходу за ВТОРЫМ РЕБЕНКОМ

Может, конечно.
Согласно Трудовому кодексу
Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком
По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.
Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.
По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность) .

Вам предоставлен отпуск по уходу за ребенком (за первым) до трех лет.
На второго ребенка Вы заявления на отпуск не писали и приказ не издавался. Теперь Ваш супруг по месту своей работы вправе обратиться с заявлением о предоставлении отпуска по уходу и назначении пособия, а также представить свидетельство о рождении второго ребенка и справку с Вашей работы о том, что вы не находитесь в отпуске по уходу за вторым ребенком.

И все - никаких проблем.

Никаких проблем, может.

А для чего это надо? пусть денежки зарабатывает, на пособие детское нынче не проживешь ((((((((((( после 1,5 лет пособия на ребенка не платят