когда и где оформляется больничный лист?

Приказ МЗ РФ от 29 июня 2011 г. № 624н г. Москва
"Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности"
с учетом изменений и дополнений, изложенных в
приказе МЗ РФ от 24 января 2012 г. N 31н г. Москва
"О внесении изменений в Порядок выдачи листков нетрудоспособности, утвержденный приказом Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации от 29 июня 2011 г. N 624н"

ч. II п. 25 Гражданам, направленным медицинскими организациями и органами управления здравоохранением субъектов РФ на лечение в клиники научно-исследовательских учреждений (институтов) курортологии, физиотерапии и реабилитации, санаторно-курортные учреждения, в том числе специализированные (противотуберкулезные) санаторно-курортные учреждения, листок нетрудоспособности выдается медицинским работником на основании решения врачебной комиссии на время лечения и проезда к месту лечения и обратно.

При соответствующих медицинских показаниях листок нетрудоспособности продлевается лечащим врачом указанных клиник, санаторно-курортных учреждений.

там же - IV. Порядок выдачи листка нетрудоспособности на период санаторно-курортного лечения

там же - V. Порядок выдачи листка нетрудоспособности по уходу за больным членом семьи

35. Листок нетрудоспособности выдается по уходу за больным членом семьи:

ребенком-инвалидом в возрасте до 15 лет: при амбулаторном лечении или совместном пребывании одного из членов семьи (опекуна, попечителя, иного родственника) с ребенком в стационарном лечебно-профилактическом учреждении - на весь период острого заболевания или обострения хронического заболевания

санаторно курортное = ЛЕЧЕНИЕ, т. е БЛ ПО УХОДУ за ребёнком выдаётся в соответствии с вышеизложенными пунктами

оформляется в детской ПК, вместе с остальными документами на сан-кур лечение

для верности можете проконсультироваться в ФСС
(фонде социального страхования) региона проживания.
как / кому / когда / на какие сроки выдаются и оплачиваются БЛ - их хлеб.

Возьмите очередной отпуск, или за свой счет, или в счет будущего отпуска, или без содержания. Да просто спросите у работодателя или у бухгалтера. Можно ведь понять вас по человечески. Отработаете потом.