почему и когда зародилась традиция при расставании махать друг другу рукой

Это жест показывать открытую ладонь без оружия - знак дружеской предрасположенности.

за последние тридцать лет жест прощания (махание кистью руки вперед-назад) заменился движением уки влево-вправо в одной плоскости с ладонью, обращенной к уходящему. Этот жест заимствован с Запада. Но дети, когда им говорят: «Помаши тете ручкой» , еще машут так, как махали при прощании с давних пор на Руси.
Европейцы, прощаясь, машут ладонью, поднимая ее вверх и шевеля пальцами. Американец воспримет этот жест как призыв «иди сюда» . Прощаясь, американцы держат ладонь горизонтально, лишь слегка ее приподнимая, как будто похлопывают кого-то по голове или по плечу. Русские при прощании обычно машут рукой не вперед-назад, а из стороны в сторону, правда, латиноамериканец воспринял бы это как жест приглашения. А жители Андаманских островов на прощанье подносят ладонь знакомого к своим губам и тихонько дуют на нее.
Почему именно ЭТИ жесты стали прощальными - нужно целый трактат писать.

Надо полагать, что махать друг другу руками, люди склонны не только при расставании, но и при встрече, и просто в обычном разговоре между собою. Это наследие языка жестов, некогда широко использовавшегося древним людом. А он, в свою очередь, пришел в людской обиход из животного мира. Там ведь у подавляющего числа животных имеются, между прочим, хвосты, помахивая которыми, они могут передавать огромные массивы информации. У людей, к сожалению, хвостов нет. Вот им и приходится в ряде случаев кивать головою, дрыгать ногами, махать руками и совершать иные телодвижения в случае нехватки слов или невозможности их произнесения. Но все это – просто преамбула к древнему русскому обычаю – махнуть рукой на прощание. Здесь надо бы вспомнить, что это, в основном, женская привычка. Именно женщина машет рукою вслед уходящему мужчине. А у того руки обычно всегда заняты – оружием, поводьями, мешком на плечах, чемоданом, наконец. Женщина машет. Да еще и платочек какой-нибудь в руке держит. Плач Ярославны, одним словом. Но вот вопрос: откуда платочек-то в белой рученьке появляется при расставании? Ответ будет любопытным. Дело в том, что женщинам Древней Руси нравами того времени категорически возбранялось находиться на людях с неубранными волосами. Причем не только на улице, но даже и дома. Волосы обязательно следовало чем-то прикрыть, начиная от простого платка и кончая замысловатыми головными уборами, вроде сетки (волосника) , шапочки (подубрусника) , собственно убруса (полосы ткани вроде полотенца) , кики (украшенной шапочки) и т. п. Все это касалось замужних женщин, а молодежи дозволялось ходить и с распущенными волосами, и при косах. Но какие-то ленты на всякий случай вплетались и в их прически. Так вот, когда мужчина покидал дом надолго, если не навсегда (уходя, например, на войну) , остававшаяся дома женщина могла поступить двояко: либо ждать и надеяться на его возвращение, либо начинать жизнь теперь уже без него. В первом случае она просто махала ему рукой на прощание. А во втором – снимала свой головной убор, обнажая и распуская волосы на всеобщее рассмотрение, да и махала своему – теперь уже "бывшему" – платком, убрусом и этой самой кикой. Отсюда и берет начало образ известного всем "синего платочка", который врезался в память безымянному пулеметчику. А в Древней Руси с того самого мгновения, как женщина, проводившая в путь мужчину, опростоволосилась, все ее односельчане теперь знали – она свободна, можно к ней "бить клинья". Поэтому и русские художники практически никогда не изображали ту же Ярославну с платочком в руке или с распущенными волосами. Да и современным парням, уходящим в армию, надо, наверное, приглядываться к тому, чем именно им машут во след подруги. А, увидев платочек в прощально махающей ручке, понимать – что к чему. У женщин ведь социально-генетическая память на всякие там традиции – на редкость прочная.

чтоб вас с кем другим не перепутали, оттуда традиция...