А королева Великобритании какими властными полномочиями наделена?

Зайдите на сайт передачи "Галилео" и прочитайте/посмотрите про Английскую королеву.. . забавно!
Да и вообще там много занимательного.. .
В энциклопедиях суховато и развернуто, а там именно забавно!

Может принимать отставку или одобрять назначение нового кабинета министров... .
Но, это так, чисто символически.. .
Присваивать звания баронетов (сэров) , награждать орденами... .
Есть, хороший фильм.. . относительно недавний - "Королева", там про то, как она и члены семьи вели себя после смерти Дианы...

Королева Великобритании имеет полномочие назначать премьер-министра.

Королева глава государства и формально источник суверенной власти, назначает судей, королеве принадлежит право амнистии и помилования, Королева главнокомандующий Вооруженными силами, воинское звание -- полковник. Она назначает высших должностных лиц в вооруженных силах, присваивает звания офицерам армии, авиации и флота, награждает знаками отличия. Прерогатива Королевы распускать Палату общин, назначает Премьер-министра, однако, как правило, она при этом не свободна, Королеве принадлежит также право назначения дипломатических представителей, заключения международных договоров, объявления войны и заключения мира, Наконец, своеобразие статуса британской Королевы заключается в том, что она, возглавляет англиканскую церковь в Англии и пресвитерианскую -- в Шотландии. В этом качестве она назначает церковных иерархов Церкви Англии.

- огромным количеством родственников - друзей и знакомых - и ещё налоги принимает

Практически никакими.
Кому-то ручкой помахать.
Кому-то орден повесить.
По телевизору с новым годом поздравить.
Собственно, и всё.

Не парламентарная, а парламентская. Это когда власть монарха ограничена властью парламента...

утверждает премьера (это чистая формальность), по факту власть нулевая у нее.