какую часть Руси по официальной версии удалось захватить татаро-монгольскому игу?

Вся все существующие тогда русские княжества были завоеваны в период 1237-1238 гг (включая всю территорию Украины, вплоть до Крыма) . ,более того западный поход монголов продолжился и дальше были завоеваны Причерноморье ( современная южная территория Украины в 1238—1239) Польша и Моравия (1241), Венгрия и Хорватия (1242), Босния (1242), Хорватия (1242) и завершился только в 1242 году, когда Великий хан Мунке умер и Батый вынужден был вернуться в Каракорум (древняя столица монголов) для участия в выборе нового правителя Монгольской Империи

Отвечаю на вопрос: "Была ли завоевана вся территория тогдашней Руси? " Да, была завоевана вся территория Руси (включая все города) . В подтверждение своих слов размещаю карту западного похода Батыя:



На данной карте синим выделено вся территория завоеванная монголами (половецкими войсками) , северная часть современной России не было тогда в составе составе отдельных русских княжеств.

Вот еще одна такая карта:



Тут красным выделена территория на которых происходили основные сражения между войсками русских князей и монгольскими войсками. даю ссылку где имеется историческая карта завоевании

полностью кроме новгорода и пскова. псков был под защитой литвы.

Оккупации как таковой практически нигде дальше Оки не было. Леса кочевников не интересовали.. .

Дань Золотой Орде выплачивалась с территории Великого княжества Владимировского и зависимых от него земель. Также правители этих земель утверждались в Орде, что подтверждалось выдачей специальной грамоты (ярлыка) . Это дает основание говорить о существовании зависимости русских земель от Золотой Орды, или "ига".

Всё это блеф.