ПО КАКИМ КРИТЕРИЯМ КАЗАКИ, определяют себя, что они именно, казаки? МНОГИЕ КАЗАКИ СЧИТАЮТ, если русский, значит казак.

Однако далеко не все казаки отождествляют себя с русскими.. . Вы же не требуете что бы поляки считали себя русскими?

Так и украинские казаки тоже так считают. Даже в Гимне Украины слова про казаков имеются. Или думаете картина эта с донских казаков писалась?

выправили в архивах родословные

Родовод свой надо знать больше чем на два поколения - один вариант. Или вспомнить правила приема в Запорожскую Сечь - неженатый и православный.

Что-то Вы путаете, как раз многие казаки не считают себя русскими, считают, что они отдельный народ. Хотя фактически русские или украинцы - смотря где.

Казаки- это не национальность, это привилегированное военное сословие.
К началу Первой мировой войны существовало одиннадцать казачьих войск:
Донское казачье войско, старшинство — 1570 (Ростовская, Волгоградская, Калмыкия, Луганская, Донецкая)
Оренбургское казачье войско, 1574 (Оренбургская, Челябинская, Курганская в России, Кустанайская в Казахстане)
Терское казачье войско, 1577 (Ставропольский, Кабардино-Балкария, С. Осетия, Чечня, Дагестан)
Сибирское казачье войско, 1582 (Омская, Курганская, Алтайский край, Северо-Казахстанская, Акмолинская, Кокчетавская, Павлодарская, Семипалатинская, Восточно-Казахстанская)
Уральское казачье войско, 1591 (до 1775 — Яицкое) (Уральская, бывшая Гурьевская в Казахстане, Оренбургская (Илекский, Ташлинский, Первомайский районы) в России)
Забайкальское казачье войско, 1655 (Забайкальский, Бурятия)
Кубанское казачье войско, 1696 (Краснодарский, Адыгея, Ставропольский, Карачаево-Черкесия)
Астраханское казачье войско, 1750 (Астраханская, Волгоградская, Саратовская)
Семиреченское казачье войско, 1852 (Алматинская, Чимкентская)
Амурское казачье войско, 1855 (Амурская, Хабаровский)
Уссурийское казачье войско, 1865 (Приморский, Хабаровский)
Кубанские -украинцы, а все остальные казаки -русские.

В дореволюционной метрике моей бабушки Евдокии так и написано: казачка!