Откуда произошло слово "казак"? Почему вдревности черкесов называли "казаками" или "казахами"?

Казак и Казах имеют одно значение - свободный, независимый человек. В древности у тюрков - общих предков казахов, татар, башкир и пр. существовал обычай называемый "ҚазаҚ болу" - "Быть независимым"
Суть заключалась в следующем: человек - преступник, либо просто инакомыслящий изгонялся из рода, жил один. В силу существовавшего в те времена родового строя, это было страшнейшим наказанием. Так как такой человек становился вне общества, изгоем.

Формирование этноса Казах проходило приблизительно по этому сценарию. Султаны - чингизиды Жанибек и Керей, воспротивившиеся правлению в Абулхаир хана, ушли в долину реки Чу, вместе с родами Аргынов, которые в свою очередь находились во вражде с родами Кипчаков - главной опорой Абулхаира. За ними закрепилось прозвище ҚазаҚ, которое с течением времени стало этнонимом№

Казаки же, как я говорил в ответе на предыдущий Ваш вопрос -субэтнос в составе русского этноса, потомки отщепенцев изгнанников из тюркских родов, и присоединившихся к ним беглых каторжников и крепостных.

Так что можно сказать, что два по сути разных народа, носят один этноним.

Согласно Военной энциклопедии 1911−1915 годов, слово «казак» или «козак» имеет несколько вероятных версий происхождения и ряд значений [7]:
♦ от тюркского «казак» — «вольный человек» [2]
♦ от косогов (одного из кавказских народов) либо от Касахии (что, в принципе, одно и то же) ;
♦ от турецко-татарского «каз» — «гусь» ;
♦ от слова «козары» ;
♦ из монгольского языка, где «ко» — броня, защита; «зах» — граница; и, таким образом, одно из значений древнерусского слова «козак» — защитник границы (возможно, также на сяньбийском и гуннском языках, хотя документально это не подтверждено, и в сохранившемся близком к гуннскому и хазарскому чувашском языке этих слов нет; последующие государства тюрок и монголов многое заимствовавали у гуннов и хазар. )
♦ от турецко-татарского «қазақ» — свободный, независимый человек, удалец, искатель приключений;
♦ название (самоназвание) киргизов [17];
♦ в Туркестанском крае — «прозвище» кочевых племён;
♦ по половецки (тюркски) — «страж» ;
♦ у татар это бессемейные и «бездомовые» воины, служившие авангардом в походах и при перемещениях татарских орд, несшие, в основном, разведывательную и сторожевую службу.

У Гоголя, кстати, кОзак. Может, предки коз?

Слова казах и казак - это разные понятия. Казахи появились уже в советское время, как искажение слова казак. Казаки-русы - это издревле, воины, постоянно охранявшие границы страны (империи). Рус - родовой уклад славян. Символом у казаков было Солнце, звёзды, крест и Луна (месяц в круге). Только месяц и звезду, позже взяли за символ в исламе. У казаков до советской власти эти символы сохранялись на знамёнах и т. д. Османская (Отоманская) или Атаманская империя была создана казаками-атаманами. Известная казачья Тамань называлась - Атамань. Была у казаков-русов письмо-вязь, которая затем, стала основой для арабского письма.

Воинов Чингизхана, т. н. "монголов", в те времена называли КАЗАКАМИ, т. к. все они были из казакских (казахских) племен (найманы, конраты, жалаиыр, керей и т. д.). Воинские звания атаман, жасаул, боевой клич АРУАХ (звали святых духов). На захаченных территориях руси брали на воинскую службу и русских, украинцев. Чингизхан не захватывал чужие земли, он просто покорял народы, обложил данью и уходил. Леса непригодны для пастбищы скота кочевников. Когда воины Чингизхана ушли, остались русские и украинцы, которые служили у "монголов", и они остались КАЗАКАМИ с боевым кличем УРА.

по тюрски

слово каз и ак - слово тюркской языковой группы, каз-гусь, ак-белый, белые гуси обитают, обычно, на берегу водоёмов, белые гуси-символ свободы. Может быть, свободолюбивые люди объединялись, помогая друг другу, не зависимо от расы, называя себя казаками. Слово тюркское-однозначно.