Слетела цепь при переключении скорости на горном велосипеде

Скорее всего просто неправильно настроено и все

Не совсем четко настроен передний переключатель.

кроме настройки натяжения троса , которая и задает четкое позиционирование цепи на звезде, есть еще и регулировочные винты H и L , которые ограничивают ход рамки и не дают переключателю при чрезмерном нажатии или неправильной настройке скинуть цепь за пределы системы.

Проверь их регулировки тоже.

Про шум: передний переключатель всегда переключается тяжелее, чем задний. Передним переключателем нужно пользоваться всегда строго при отсутствии нагрузки, на холостом вращении! Крутишь педали, едешь по инерции накатом , и, проворачивая вхолостую не спеша, переключаешься.
Его работу прочувствовать надо, но в целом если он настроен хорошо, то переключаться должен так же легко, за пол-оборота педалями.
Когда жмешь рычаг на манетке, то не дожимай его сразу до конца при остановленных педалях, делай это одновременно с вращением педалей, каждые пол-оборота на звезде есть выступ , который подкидывает цепь на зубья. Ты прочувствуешь этот момент, когда цепь запрыгивает на свое место, значит уже можно рычаг дожимать до конца.

Еще: слет цепи это можно сказать рядовой случай, не относись к этому как к какой-то чрезвычайно редкой и страшной аварии. Трансмиссии 3х7 , 3х8 и подобные дешевые подвержены слетам или зажевываниям цепи, так как цепь натягивается очень слабо , и при активной езде при тряске или наклоне велосипеда в поворотах цепь провисает и может некорректно работать или даже слететь если совсем сильно трясти будет.

У спортивных велосипедов с дорогой трансмиссией спереди стоит одна звезда, но с высокими зубьями хитрой формы (погугли про Narrow-Wide), разной ширины, чтоб цепь плотнее садилась и не слетала , и дорогие переключатели сзади имеют более жесткую пружину натяжения и даже специальную тормозную муфту, которая не дает лапке переключателя отгибаться под весом цепи при сильной тряске.
Вот с такой трансмиссией точно ничего слетать не будет. Но стоит она как весь твой велосипед.

А с дешевенькими 3х7 и похожими слет цепи и прочие мелкие неприятности иногда случаются при тряске, и это нормально.

Надо пробовать в какой момент слетает. Подвесить велосипед чтобы заднее колесо было в воздухе и экспериментировать. Может переключатель слишком далеко перебрасывает цепь через 3 звёздочку на шатуны или что конкретно происходит. Регулируется как правильным крепежом переключателя, натяжением тросика и есть ещё ограничительный винт, что не даёт далеко перебрасывать цепь.