Боролевская алгебра, Сигма алгебра

по моему это вообще если "упрощенно" - двоичная система исчесления.

ВООБЩЕ алгебра - это какое-нибудь множество (обозначим M), на котором заданы какие-нибудь операции (обозначим R1, R2....). Например, множество натуральных чисел со сложением - это алгебра (есть множество чисел, и есть операция сложения) . Множество действительных чисел - тоже алгебра (есть множество, и есть две операции - сложение и умножение) . Есть еще понятие "алгебраической системы", но мы рассматривать не будем.

Теперь к вопросу, что значит "замкнутая относительно какой-то операции". Может получиться так, что операция будет незамкнутой, то есть мы применяем операцию к элементам множества и результат получается "за пределами" множества. Например, если взять множество натуральных чисел, и ввести там деление - она не замкнута относительно деления: 2 делить на 3 - не целое число, то есть результат операции нашему множеству уже не принадлежит. Замкнутая (относительно операции R) алгебра - это та, в которой операцию можно применить ко всем элементам и результат опять будет принадлежать нашему множеству. Например, если брать натуральные числа, это сложение.

Теперь, что такое "множество подмножеств". Допустим, у нас есть множество из 3 чисел: 0, 1, 2. Что такое "множество подмножеств данного множества"? Это когда мы берем какие-то элементы из них, а какие-то не берем. Например, (0) - подмножество нашего множества. (1) - тоже подмножество. (0, 1) - тоже подмножество (состоит из двух элементов) . Пустое множество () - никаких чисел не содержащее, тоже считается подмножеством. Итак, для нашего множества получаются вот такие вот подмножества:
()
(0)
(1)
(2)
(0,1)
(0,2)
(1,2)
(0,1,2)

Вот если их рассматривать как самостоятельные "элементы", получится "множество всех подмножеств". То есть в нашем случае множество всех подмножеств состоит из 8 элементов: (), (0), (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2). Но иногда в математике рассматриваются множетва некоторых подмножеств.

Теперь, что такое объединение. Допустим, у нас есть два подмножества. Их объединением называются все те элементы, которые содержатся хотя бы в одном из них. Например, есть подмножества (0) и (1,2) - видно, что ноль принадлежит первому множеству, 1 и 2 принадлежат второму, таким образом их объединение - (0,1,2). Так вот, объединение - это ведь тоже операция.

Теперь рассмотрим, что такое дополнение к данному множеству. Это все те элементы, которые входят в базовое множество (у нас это 0,1,2), но не входят в данное. Например, дополнение к (0) - это (1,2). Дополнение к (0,1) - это (2).

Теперь переходим собсно к сигма-алгебре. Сигма-алгебра над некоторым множеством - это множество некоторых подмножеств нашего множества, таких, что
1) Пустое множество () принадлежит сигма-алгебре.
2) Сигма-алгебра замкнута относительно операции объединения.
3) Если что-то принадлежит сигма-алгебре, то его дополнение тоже принадлежит.
Можно рассмотреть пример и проверить, будет ли он сигма-алгеброй.
Например, наше множество - это 3 числа: 0, 1, 2. Тогда множество подмножеств
(),
(0),
(1,2),
(0,1,2)
будет сигма-алгеброй, а вот, например,

(),
(0),
(1),
(2,3)
сигма-алгеброй не будет, т. к. объединение (0) и (1) - это (0,1) - не принадлежит ей.

Борелевская сигма-алгебра - разновидность сигма-алгебры, где базовым множеством является какое-нибудь топологическое пространство, обычно - линейное пространство, в том числе множество действительных чисел. Ну, это уже отдельный вопрос, на несколько страниц.

википедия объяснит нормально хД

просто и со смыслом