В чем разница между автоматическим пистолетом и пистолетом-пулеметом? Возьмем к примеру IMI Mini Uzi и АПС

Разница есть, но она с виду не так существенна. В автоматическом пистолете автоматическим является только процесс перезаряжания, а стрельба ведется одиночными выстрелами. А, например, малогабаритные пистолеты-пулеметы УЗИ и АПС могут вести стрельбу как одиночными выстрелами и, так и очередями. По внешнему виду и размерам они мало чем отличаются от пистолетов и даже носятся "по-пистолетному". А объединяет их стрельба пистолетными патронами. Но, маломощный пистолетный патрон ограничивает прицельную дальность до 200м. Поэтому почти во всех армиях пистолеты-пулеметы вытеснены автоматами и используются лишь в армиях стран с нестабильной внутренней обстановкой, например в Израиле. Ввиду портативности пистолетов-пулеметов и дозвуковой скорости пули в них удобно применение глушителя и, поэтому они хороши как полицейское и антитеррористическое оружие. А автоматический пистолет, как личное оружие, применяется в армиях всех стран и замены ему на, что-то другое пока не предвидится.

Пистолет и автоматический пистолет-оружие самообороны.
Соответственно-Малый размер, короткий ствол, отсутствие приклада, меньший боезапас. Удобно носить, в том числе скрытно, но реальное применение порядка 20 метров.
Пистолет-пулемёт-боевое оружие под пистолетный патрон. Приклад, ствол длиннее, магазин больше.
Соответственно больше прицельная дальность и убойная сила.

В прикладе и количестве патронов в магазине.

Автоматический пистолет - который после выстрела сам перезаряжается.
Пистолет пулемет - оружие непрерывного огня. Он не только перезаряжается, но и отводит боёк, и если спусковой крючок в положении "огонь", а тумблер огня - в положении "автомат" - он снова производит выстрел.
Как автомат.
Но в пистолетах-пулеметах используются пистолетный боезапас, а автоматах - винтовочный.

Возможна путаница в в иностранных терминах. В старину за бугром автоматическими называли первые самозарядные пистолеты. Вроде - "auto loading pistol"/"automatic pistol". Сегодня их обозначают "self loading pistols". Ряд автоматических пистолетов вроде "АПС"/"Beretta93R"/"MauserC96"/"Glock-18" перестают быть оружием самообороны, и только из-за авто-огня переходят в класс пистолетов-пулемётов, где габариты и компоновка не имеют значения, но имеет значение их назначение - штурмовое оружие ближнего боя под пистолетный патрон.
Есть мнение что "автоматические пистолеты" такого образца это ещё не "пистолеты-пулемёты", что они бесполезны без кобуры, чрезмерно скорострельны и т.д., но такое мнение ошибочно , потому что цель создания этих образцов - именно придать пистолетам возможность пистолетов-пулемётов, без чего они бы и оставались пистолетами.

Одно и тоже!!! разные названия одного и того же класса вооружения, использовавшиеся в разных странах и в разное время. Это как автомат и штурмовая винтовка. У нас автомат Калашникова- автомат, у америкосов он же - штурмовая винтовка.