почему с увеличением механической нагрузки на вал асинхронного двигателя возрастает потребляемая из сети мощность

Физика такова:
Момент на валу возрастает. Скорость вращения ротора, соответственно падает. Так как разница в скоростях ротора и скорости вращения магнитного поля статора увеличилась, то увеличивается скольжение. Увеличение скольжения приводит к росту тока в статоре двигателя. Увеличение тока в статоре при неизменном напряжении - это и есть рост активной мощности.
Скорость вращения ротора будет падать до тех пор, пока электромагнитный момент не сравняется с механическим. В этой точке равновесия будет своя скорость, свой момент и своя потребляемая мощность.

Согласно закону сохранения энергии. Все четко.

если возрастает механическая нагрузка, то двигателю приходится работать больше за тот же промежуток времени, а это мощность

Если вспомнить, что ротор асинхронника замкнутое беличье колесо, то с увеличением нагрузки обороты движка падают, ротор всё больше отстаёт по вращению от вращающегося внутри магнитного поля и двигатель, по замещающей электросхеме всё больше становится похож на трансформатор с замкнутой накоротко вторичной обмоткой. Если вал совсем остановить, то электрически он и будет таким трансом, и что с ним может произойти всем известно.

Усе верно. Активное сопротивление обмотки довольно мало (процентов 5 от экви сопротивления мотора при номинальной нагрузке) . На этом сопротивлении падает разница напряжений сети и индукционного напр. обмотки. Тормозим мотор - индукционное напряжение падает, патамушта оно равно магнитному потоку ротора, умноженному на скорость. Перепад на сопротивлении обмотки растет, и пропорционально ему растет и ток.

Все верно, просто по сохранению энергии. Пока у Вас нету нагрузки на двигатель - двигатель кушает минимальный ток (на компенсацию трения узлов) . При его нагружении прежнего тока начинает не хватать, поэтому двигатель начинает кушать больше и немного у него скидываются обороты, при прохождению предельного крутящего момента (критическая скорость вращения двигателя) , крутящий момент будет уменьшатся, но при этом ток изрядно возрастет, будьте аккуратны.