какое отношение кварц имеет к кварцевым (батареечным) часам?

Там используется кварцевый резонатор, с помощью которого генерируется высокостабильная импульсная последовательность с частотой обычно 32768 Гц. После деления двоичными счетчиками на 2^15 получаются образцовые интервалы длительностью в 1 секунду, на основании которых идет отсчет времени.

На кваце сделаны!

в электронных часах для формирования точной частоты используется кварцевый резонатор - пластинка, вырезанная из кристалла кварца с напыленными на 2 грани металлическими электродами и закрепленная в держателе. Резонансная частота такого кристалла мало зависит от температуры и других внешних факторов. Обычно резонатор в часах работает на частоте 32768 Гц, для получения 1Гц, т. е. один импульс в секунду, используются цифровые делители частоты на триггерах.

В "батареешных" часах стоит кварцевый резонатор в схеме генератора. Он задает опорную стабильную частоту.

Там кристалл кварца вместо маятника.

Механические часы Вы конечно видели. В них качается маятник. Маятник задает ход часов. В электронных и электронно-механических часах "качается" пластинка резонатора.

В первых больших электронных часах использовался кристалл кварца в качестве резонатора. Пластина кварца колебалась с очень большой и очень точной частотой. Она делала 32768 колебаний в секунду. Эту частоту подавали в электронную схему и она, разделив на 32768, считала секунды. Размеры этой пластины были с мизинец.

В современных часах колеблется пластинка из специальной керамики. Она по размерам намного меньше, а функции выполняет абсолютно те же. Разве что точность хода похуже.
Хоть пластина резонатора давно уже не кварцевая, но название осталось старое "кварцевый резонатор" и, соответственно, часы с ним - кварцевые.
Есть еще атомные часы - вместо маятника колеблются атомы цезия. И водородные часы - колеблются атомы водорода. Размер этих часов с холодильник.

Из кварца сделан кварцевый резонатор, он имеет свою частоту резонанса, которая управляет генератором колебаний маятника часов, что бы те шли точно... при любых условиях (слабая батарейка, низкая температура, тупой хозяин...)

самая главная стекляшка

Без кварца эти часы просто хлам.

в качестве частотозадающего элемента используется кварцевый резонатор

Там кварцевый резонатор