почему трансформатор работает только при переменном напряжении?

ну, во 1х, на переменном токе, а не напряжении

Работа трансформатора основана на двух базовых принципах:

Изменяющийся во времени электрический ток создаёт изменяющееся во времени магнитное поле (электромагнетизм)
Изменение магнитного потока, проходящего через обмотку, создаёт ЭДС в этой обмотке (электромагнитная индукция)

На одну из обмоток, называемую первичной обмоткой, подаётся напряжение от внешнего источника. Протекающий по первичной обмотке переменный ток создаёт переменный магнитный поток в магнитопроводе. В результате электромагнитной индукции, переменный магнитный поток в магнитопроводе создаёт во всех обмотках, в том числе и в первичной, ЭДС индукции, пропорциональную первой производной магнитного потока, при синусоидальном токе сдвинутой на 90° в обратную сторону по отношению к магнитному потоку.

вывод:
э. д. с. создается при ИЗМЕНЕНИИ магнитного потока, это изменение способен создать ИЗМЕНЯЮЩИЙСЯ ток (переменный, а не постоянный). кроме того, интересный момент-если включить трансформатор в цепь постоянного тока, то в момент включения или выключения трансформатор заработает (на доли секунды) -вследствие изменения тока (ток есть/тока нет)
с математической точки зрения-"В результате электромагнитной индукции, переменный магнитный поток в магнитопроводе создаёт во всех обмотках, в том числе и в первичной, ЭДС индукции, пропорциональную первой производной магнитного потока,... "первая производная потока будет скорость его изменения, что возможно только при меняющемся процессе

Это не так. Подайте на первичную обмотку постоянное напряжение - постоянное же появится на вторичной.
При этом входной ток (и магнитный поток) линейно нарастает во времени. Кстати, этот ток, в принципе, потом можно вернуть назад.
Только есть маленькая проблема. Нарастающий ток вызывает:
1) спад входного напряжения (ток ограничивается сопротивлениями в первичной цепи) ;
2) насыщение сердечника при некотором значении магнитного потока.
Все это произойдет за доли секунды, после чего наша чудесная передача трансформатором постоянного напряжения и окончится, едва начавшись.
Вот и ответ на "почему": потому, что трансформатор не идеальный, и источник напряжения тоже.

при постоянном токе нет переменного магнитного поля в сердечнике и значит небудит напряжеия на вторичной обмотки

При постоянном он гудеть не будет. А раз не гудит - значит и не работает.

Какой тебе придурок такое-то внушил?
Трансформатор ещё лучше работает на однонаправленном пульсирующем напряжении. И это прописано Фарадеем уже 200 лет. Все зарядки современные по этому принципу работают, поэтому значение η (коэф. полезного действия) поднялося с 4-8%(!!!) до 95%. Это ведомое сетью устройство часто просто по тупости насилуется экскриментаторами от академии наук.

Потому что при постоянном он сгорит

Потому что при постоянном токе, нет индуктивного сопротивления, то есть нет и индуктивности. То есть не будет наводки на других обмотках