Индикаторная отвёртка светится при прикосновении к корпусу паяльника, так и должно быть, или паяльник неисправен?

Небольшая емкостная наводка на жало паяльника всегда есть. Потому что, между нихромом и жалом только тонкий слой миканита. Поэтому, например при пайке ВЧ и СВЧ элементов (диоды, транзисторы), во избежание их повреждения, рекомендуется заземлять жало паяльника, или отключать паяльник от розетки на время пайки.
Перевернув вилку, ты просто сделал так, что фазовый конец нагревателя стал дальше от жала. Поэтому в одном положении вилки индикатор горит, а в другом нет.

вилку в розетке наоборот переверни и проверь

паяльник неисправен

Ну сплошные загадки, индикаторы разные бывают, условия измерения тоже, стоишь ли босиком на бетоне или изолирован от пола, трудно судить не зная этого всего....

Какой индикатор? Тот, что со светодиодом и батарейкой — будет светиться, но по-разному. Они даже на обрезанный длинный провод светятся, наводки ловят.
С газовой лампочкой — не нормально, такой светиться не должен.

Не должна.

А хз, кинь его на землю, если стрельнет значит был пробит, если нет значит просто индикатор горит потому что есть емкость между корпусом и спиралью

паяльниками на 220 паяют вёдра и тазы, а для электроники есть низковольтные с трансформатором.

измерь тестером напряжение между жалом и нулем (фазой) в розетке, если что-то показывает, значит есть утечка (или прямое кз на жало)

Если слабое свечение то пойдет если как в розетке то беда

К. з. нагревателя на корпус. Это особенно "любят" полевые транзисторы.

УЗО нужно и паяльник заземлять. УЗО сработало - паяльник в утиль.