В блоке управления старой китайской гирлянды с лампочками накаливания потек конденсатор 47мкф 16В.

Добра Вам! :-)

"В блоке управления.... потек (?!.) конденсатор 47мкф 16В."

С чего ли ( с какой стати)?..
Там ( в этой цепи) нет высокочастотной наводки,..
Там, при исправном модуле управления (черной блямбы/кляксе на вертикально впаянной плате), не может быть постоянного напряжения превышающего " предельное постоянное напряжение на обкладках электролитического конденсатора"...
Если этот ( "фильтрующий") конденсатор "потёк", - модуль управления в ауте, - овчинка выделки не стоит,..

Как-то так!..
Удачи Вам!: -)

З. Ы. Взирая на фото в Вашем, Серёга, вопросе:
Ну не посчитал изготовитель для себя необходимым смыть флюс с платы,..
Кто его знает?..
а) Может быть у изготовителя нет доступа к пресной воде,..
б) Может быть барыга ( оптовый закупщик) настоял на дополнительной скидке на партию товара ( и производитель, для удешевления производства, отказался от данного ( смывка продуктов пайки) этапа производства),..
Кто знает?..

47 мкФ, 16 или более вольт.

На любой от 33 и больше мкФ с напряжением от 16 (лучше от 25! Стрёмная схема..) и более В...

бери 47 мкф а 25 вольт

Так и должно быть ибо там питание 24 вольта, надо ставить 47 на 50 вольт, даже 47 на 25 не выдержит....

Желательно такой же чтобы не изменять выходные параметры блока управления. С ёмкостью лучше ставить такой же. По напряжению можно смело ставить с большим вольтажом если нет такого же.

Какой поставить - Вам уже посоветовали. Теперь - КАК его надо поставить. Наденьте на ножки нового кондёра трубочки-изоляторы (термоусадку) . Впаяйте кондёр кончиками ножек. Отведите конденсатор подальше от микросхемы-капли и от нагревающихся деталей. При возможности замените диод на более высокотоковый, и оставьте ему максимальную длину ног, которые будут работать радиатором диода . Поместите коробочку в самое продуваемое место у ёлки. Что бы хоть как-то охлаждалась.
Для долгой работы желательно отпаять (поочерёдно) проводки к плате, припаять на плату 20 см провода 1,5 мм кв, и к этому кусочку подпаивать "родной" провод, с изолированием пайки. Толстые провода сработают теплоотводом, вшестеро усилив охлаждение компонентов.

ёмкость примерно такую же берите, а вот напряжение побольше, например 25 вольт

На такой же или на аналог.