как быть водителю в такой ситуации?

Если машина была конструктивно сделана БЕЗ РЕМНЕЙ - то никаких проблем у водителя не должно возникнуть!
Читаем КоАП. Цитирую.. .

Статья 12.6. Нарушение правил применения ремней безопасности или мотошлемов
Управление транспортным средством водителем, не пристегнутым ремнем безопасности, перевозка пассажиров, не пристегнутых ремнями безопасности, если конструкцией транспортного средства предусмотрены ремни безопасности,... влечет наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

То есть: Если ремни в машине были, но водитель ими не пользуется - предусмотрен штраф. Если ремней в машине нет - то и штрафа нет!

Хотя известны примеры, когда алчный безграмотный ГАИшник в погоне за выполнением плана по штрафам мог выписать штраф за езду без ремней даже в том случае, если их в машине не было. Это неправомерно и легко обжалуется.

в ПДД сказано, ч то водитель и пассажиры должны быть пристёгнуты ремнями лишь в том случае, если конструкция автомобиля это предусматривает. если гаец докопается до водителя Победы, в которой ремни не предусмотрены были изначально, достаточно будет одного звонка в собственную безопасность. ибо его действия не иное, ка вымогательство взятки

Как вариант ГАЗ - 21, М - 20.

По п. 2.1.2 ПДД при движении водители и пассажиры всех ТС, Оборудованными ремнями безопасности, должны быть пристегнуты.

ПДД
2. Общие обязанности водителей
....
2.1.2. При движении на транспортном средстве, оборудованном ремнями безопасности, быть пристегнутым и не перевозить пассажиров, не пристегнутых ремнями. При управлении мотоциклом быть в застегнутом мотошлеме и не перевозить пассажиров без застегнутого мотошлема.
....
НЕ оборудовано значит не надо

Необходимо иметь справку о том, что ремни не предусмотрены.