Имеют ли право сотрудники ГАИ снимать на камеру мобильного телефона несовершеннолетнего ребенка?

Снимать в публичном место могут что угодно и кого угодно. Публиковать нельзя.
По допросу/опросу

Статья 179. Допрос несовершеннолетнего свидетеля

1. Допрос свидетеля в возрасте до четырнадцати лет, а по усмотрению суда и допрос свидетеля в возрасте от четырнадцати до шестнадцати лет производятся с участием педагогического работника, который вызывается в суд. В случае необходимости вызываются также родители, усыновители, опекун или попечитель несовершеннолетнего свидетеля. Указанные лица могут с разрешения председательствующего задавать свидетелю вопросы, а также высказывать свое мнение относительно личности свидетеля и содержания данных им показаний.

Статья 280. Особенности допроса несовершеннолетнего потерпевшего и свидетеля

1. При участии в допросе потерпевших и свидетелей в возрасте до четырнадцати лет, а по усмотрению суда и в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет участвует педагог. Допрос несовершеннолетних потерпевших и свидетелей, имеющих физические или психические недостатки, проводится во всех случаях в присутствии педагога.
2. До начала допроса несовершеннолетнего председательствующий разъясняет педагогу его права, о чем в протоколе судебного заседания делается соответствующая запись.
3. Педагог вправе с разрешения председательствующего задавать вопросы несовершеннолетнему потерпевшему, свидетелю.
4. При необходимости для участия в допросе несовершеннолетних потерпевших и свидетелей, указанных в части первой настоящей статьи, вызываются также их законные представители, которые могут с разрешения председательствующего задавать вопросы допрашиваемому. Допрос потерпевшего или свидетеля, не достигшего возраста четырнадцати лет, проводится с обязательным участием его законного представителя

Заставлять давать показания и писать объяснительную (а это тоже показания) у вас на сколько я понимаю вообще не могут. Могут предложить дать показания (написать объяснительную). Не хочешь - не пишешь.

1. Имеют, без проблем.
2. Смотря что за объяснительная.
3. Будет.
Малолетка этот святой на дороге без прав видимо остановлен?

ютуба пересмотрела?

Даже гладить и брать на руки

Снимать могут все и всё. А вот чтобы публиковать это видео, нужно разрешение тех, кто в кадре или их законных представителей.
Заставлять писать объяснительную? И что это даст? Доказательство в некомпетентности заставляющих?
Документы, подписанные человеком, не получившим паспорт, без дополнительного документа-разрешения от законных представителей не имеют юридической силы. Х-нёй они занимаются. Если только перед таким же начальником отчитаться.

допрос ведется только в присутствии родителей и с их разрешения

Нет, никто не имеет права снимать даже взрослого человека без разрешения. Только у нас с этим полный бардак. Есть страны, где запрещены камеры наблюдения, на панорамах гугла никогда нет номеров машин и лиц людей.

Обнажённого - нет.

снимать можно

Может в присутствии родителей или психолога срашивать и писать обьяснительную, а снимать у нас не запрещают