Могу ли я получить болгарскую визу на несовершеннолетнюю дочь, если я не могу предоставить доверенность от её отца.

В разводе Вы или нет роли никакой не играет. Если отец не лишен родительских прав, то он обладает теми же юридическими правами в отношении дочери, что и Вы. Так что без его нотариально-завернного согласия никто Вам визу не даст, и не только в Болгарию.
Другое вопрос, что Вы можете обратиться с заявлением в Ваше местное УВД с заявлением о розыске отца и если в течении положенного по закону времени его местонахождение не будет установлено, то суд может принять соответствующее решение, в результате которого получите на руки справку о том, что местонахождение отца установить не возможно. Такая справка заменит согласие отца.

Мамочки сначала сами не задумываются о правах ребенка и не делают попыток их защитить, а потом воют от несправедливости. За 10 лет неужели нельзя было решить и оформить все официально? А вы в курсе, что после 18 летия вашего ребенка его отец может запросто найтись сам и подать на алименты уже на взрослого ребенка? И Ребенок, который не получал ни копейки будет платить чужому для него дядьке и "благодарить" вас за безделие. Почему бы не подать на алименты? Почему бы не лишить родительских прав, если обязанности его не интересуют? Выехать без разрешения отца, либо справки о лишении отцовства, либо справки о смерти или невозможности установить местонахождения нельзя!