Помогитерешить ргр. завтра сдавать, а я незнаю как это решить:(

А что такое РГР? Расчетная Групповая Работа?
1) Частные производные
z = arcsin ((xy)^(1/2))
dz/dx = 1 / (1- (xy))^(1/2) * y = y / (1- (xy))^(1/2)
dz/dy = 1 / (1- (xy))^(1/2) * x = x / (1- (xy))^(1/2)

2) Неявных функций не помню

3) Экстремум
z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 5
{ dz/dx = 3x^2 - 6y = 0
{ dz/dy = 24y^2 - 6x = 0

{ x^2 = 2y
{ 4y^2 = x

(4y^2)^2 = 2y
16y^4 = 2y
8y^4 = y
y1 = 0, x1 = 0, z(0, 0) = 5
y2 = 1/2, x2 = 1, z(1, 1/2) = 1 + 8/(2^3) - 6*1/2 + 5 = 2 - 3 + 5 = 4

4) z = ctg (x + y)
Первые производные
dz/dx = -1/sin^2 (x + y) = - (sin (x + y))^(-2)
dz/dy = -1/sin^2 (x + y) = - (sin (x + y))^(-2)
Вторые производные
d^2 z / dx^2 = -(-2)(sin (x + y))^(-3)*cos(x + y) = 2cos(x + y) / (sin (x + y))^3
d^2 z / dy^2 = -(-2)(sin (x + y))^(-3)*cos(x + y) = 2cos(x + y) / (sin (x + y))^3
d^2 z / dx dy = -(-2)(sin (x + y))^(-3)*cos(x + y) = 2cos(x + y) / (sin (x + y))^3
d^2 z / dy dx = -(-2)(sin (x + y))^(-3)*cos(x + y) = 2cos(x + y) / (sin (x + y))^3
Они все одинаковые, потому что производная dz/dx (x + y) = dz/dy (x + y) = 1

5) Не знаю

6) Полный дифференциал
z = x^2*y*sin x - 3y
dz/dx = y*2x*sin x + y*x^2*cos x
dz/dy = x^2*sin x - 3
Полный дифференциал
dz = (y*2x*sin x + y*x^2*cos x) dx + (x^2*sin x - 3) dy