чем отличается кратный корень многочлена от простого ? это связано с производной ?

Любой многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
Если найти все корни многочлена n-й степени, то его можно преобразовать к виду:
(x - x1)*(x-x2)*(x - x3)^k*(x - x4)^l
При этом корни х3 и х4 (т. е. корни в тех скобках, которые возведены в степень) являются кратными, и k - это кратность корня х3, а l - кратность корня х4. По-другому, если число х0 является k-кратным корнем многочлена степени n, то этот многочлен можно разделить нацело на (x - x0)^k, а если х0 является простым корнем многочлена степени n, то этот многочлен можно назделить нацело на (х - х0).
Простой пример: многочлен x^2 + 2x + 1 имеет 2 корня: x1 = -1 и х2 = -1, т. е. фактически он имеет один кратный корень, то есть:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.
А вот многочлен х^2 - 2x + 1 имеет 2 простых корня: х1 = 1 и х2 = -1, то есть:
x^2 - 2x + 1 = (x + 1)*(x - 1)

Корень x0 многочлена f(x) называется кратным порядка k, если многочлен f(x) делится на (x-x0)^k, но не делится на (x-x0)^(k+1)
Более просто понимать можно так. Это число множителей вида (x-x0) в разложении многочлена на неразложимые множители
Например, (x-1)(x-5)(x-1)
Корень x=1 имеет кратность, равную 2.
Корень x=5 имеет кратность, равную 1. Он будет простым