Задача на нахождение корней многочлена

Используя теорему о возможных рациональных корнях, мы можем предположить, что рациональные корни этого многочлена имеют вид ±1.

Проверяем эти значения:

Для x = 1:
1^6 + 1^3 + 1 = 3, что не равно нулю.
Для x = -1:
(-1)^6 + (-1)^3 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1, что также не равно нулю.

Таким образом, мы не нашли рациональных корней, а значит, нам нужно искать корни над C, то есть комплексные корни.

Представим x в виде x = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица.

Подставим это выражение в многочлен:

(a + bi)^6 + (a + bi)^3 + 1 = 0

Раскроем степени:

a^6 + 6a^5bi - 15a^4b^2 - 20a^3b^3i + 15a^2b^4 + 6ab^5i - b^6 + a^3 + 3a^2bi + 3ab^2i^2 + b^3i^3 + 1 = 0

Учитывая, что i^2 = -1 и i^3 = -i, преобразуем выражение:

(a^6 - 15a^4b^2 + 15a^2b^4 - b^6 + a^3 + b^3 + 1) + (6a^5b - 20a^3b^3 + 6ab^5 + 3a^2b - 3ab^2)i = 0

Таким образом, имеем систему:

a^6 - 15a^4b^2 + 15a^2b^4 - b^6 + a^3 + b^3 + 1 = 0
6a^5b - 20a^3b^3 + 6ab^5 + 3a^2b - 3ab^2 = 0

Для нахождения комплексных корней нам нужно решить эту систему численно. Можно заметить, что при a = 0 и b = 1 получается корень i, который входит в комплексное число.

Таким образом, комплексный корень этого многочлена - это i.

Осталось разложить многочлен на линейные множители, используя найденный корень.

x^6 + x^3 + 1 = (x - i)(x^5 + ix^4 + i^2x^3 + i^3x^2 + i^4x + i^5)

Учитывая, что i^2 = -1 и i^3 = -i, можем упростить выражение:

x^6 + x^3 + 1 = (x - i)(x^5 - ix^4 - x^3 + x^2 - ix - i)

Замена x^3 = t, решаете квадратное уравнение, потом находите комплексные корни третьей степени.

Можно заметить, что х⁶+х³+1 = (х⁹-1)/(х³-1). Корни числителя суть числа вида еxp { 2πi k/9 } для k = 0...8, а корни знаменателя это их пожмножество для k = 0,3,6. Таким образом, остаются k = 1,2,4,5,7,8. Корнями многочлена х⁶+х³+1 являются в точности первообразные корни 9-й степени из 1.

Сколькочлена? Изващенец.