Я сейчас пытаюсь понять смысл производной, я только сегодня начинаю ее изучать, а спросить не у кого.
Есть вот задачка.
И так, я могу решить эту задачу обычным способом.. .
Вот.... Надеюсь я правильно решил... .
А вот можно использовать производную так?
И тогда вобще все облегчается!
Так вот у меня такой вопрос, я правильно понимаю, что производная это скорость? И я правильно понял что производная используется для облегчения решения. Это ведь легче чем мой первый способ. И я правильно ли вообще решил?
Дайте развернутый ответ плиз!
1) Физический смысл производной -- скорость изменения функции. Только ни в коем случае ни средняя, а МГНОВЕННАЯ. Пример. Пусть вдоль оси ОX качается (туда-сюда) математический маятник (груз пренебрежимо малых размеров с массой m, подвешенный на нерастяжимой нити) . Доказано, что координата груза меняется по закону
x(t)=a*cos(w*t+fi). Берем производную по t и получаем функцию зависимости скорости от времени (вернее проекции вектора мгновенной скорости на ось ОХ )
Vx(t)=a*w*sin(w*t+fi) (я закончила школу 40 лет назад, могу чуть ошибиться, но приблизительно так) . Т. е. , умея вычислять производную, мы получили фомулу скорости за несколько секунд.
2) Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона функции. Пусть имеем функцию У=V*х, где V -- постоянная величина (коэффициент) . Тангенс угла наклона будет вычисляться по формуле tg=(Y2-Y1)/(x2-x1)=V.
А теперь рассмотрим движение с постоянной скоростью V
S(t)=V*t. Берем производную, получаем ту же V
все верно, первое решение на самом деле и есть та же производная
В данной задаче оба решения приводят к одному и тому же результату. Это от того, что скорость не зависит от времени. Если бы скорость зависела от времени, то первый способ дал бы правильный результат, а через предварительное вычисление производной даже не знаю как бы нужно было сделать. (Что такое среднее значение функции на отрезке? Интеграл, поделенный на длину отрезка интегрирования? Но интегралом для скорости как раз и будет перемещение. Придем к формуле Ньютона-Лейбница. )
Та дробь, которая получена в первом способе дает при подстановке данных производную не всегда, а только в том случае, если t входит в исходное выражение в первой степени (равномерное движение) . Таким образом, средняя скорость – это далеко не всегда производная. Производная вводится через предел таких дробей при знаменателе, стремящимся к нулю.
