Как доказать, что 6abc <= ab(a+b) + bc (b+c) +ca (c+a)?

Попробуем доказать, mapkofb...)))

Известно неравенство, в котором среднее арифметическое больше либо равно среднему геометрическому:

(a + b)/2 >= sqrt(ab) (1) где: sqrt - корень квадратный;

Это неравенство распространяется не только на две алгебраические величины а и b, как показано выше, но и на большее число алгебраических величин, применительно к нашему примеру - к трём: a, b, c.

(a + b + c)/3 >= sqr(abc) (2) где: sqr - корень кубический.

Возведём в куб обе части неравенства (2):
[(a + b + c)^3]/27 >= abc или:
(a + b + c)^3 >= 27abc (3)

Распишем левую часть неравенства:
(a + b + c)*(a + b + c)*(a + b + c) >= 27abc
(a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac) >= 27abc
a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 + 6abc >= 27abc (4)

Рассмотрим следующее неравенство:
(a^3 + b^3 + c^3)/3 >= abc (5)

Оно верно и выполняется при любых действительных a, b, c как среднее арифметическое объёмов кубов a^3, b^3, c^3 (с рёбрами, равными сторонам a, b, c - прямоугольного параллепипеда) , большее или равное объёму abc прямоуг. параллепипеда.

Преобразуем (5):
a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc (6)

Вычтем соответственно из левой и правой частей неравенства (4) левую и правую части неравенства (6):

3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 + 6abc >= 24abc

Приведём подобные члены:

3a^2*b + 3ab^2 + 3b^2*c + 3bc^2 + 3c^2*a + 3ca^2 >= 18abc

Вынесем 3 за скобки:
3(a^2*b + ab^2 + b^2*c + bc^2 + c^2*a + ca^2) >= 18abc

Сократим на 3:

a^2*b + ab^2 + b^2*c + bc^2 + c^2*a + ca^2 >= 6abc

Сгруппируем попарно:

ab(a+ b) + bc(b + c) + ca(c + a) >= 6abc

Что и требовалось доказать...)) )

Пожалуйста, mapkofb !

Никак =))