иследовать функцию и построить график у=х в квадрате деленая на х в квадрате-1

у (x)=x^2/(x^2-1)
1. Область определения функции (-бесконечность; -1) (-1;1) (1;бесконечность)
2. Множество значений функции (-бесконечность; бесконечность)
3. Проверим, является ли функция четной или не четной?
у (x)=x^2/(x^2-1)
у (-x)=(-x)^2/((-x)^2-1)= x^2/(x^2-1), так как f(x) =f(-x) то данная функция является четной.
4. Найдем координаты точек пересечения графика функции с осмя координат:
а) с осью ОХ: у=0, x^2/(x^2-1)=0,х=0
б) с осью ОУ: х=0, тогда у=0. Следовательно график функции пересекает ось ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума функции и промежутки возрастание и убывания:
у'(x)=-2х/(x^2-1)^2 ; у'(x)=0
-2x/(x^2-1)^2=0
x=0
Получили одну сационарню точку, проверим её на экстремум:
Так как на промежутках (-бесконечность; -1) и (-1;0) у'(x)>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутке (0;1) и (1; бесконечности) у'(x)<0, то на этих промежутках функция убывает.
Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с +
на - ,то в этой точке функция имеет максимум у (0)=0
6. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:
у"(x)=6x^2/(x^2-1)^3 ; y"(x)=0
6x^2/(x^2-1)^3 =0
x=0
Так как на промежутках (-1; 0) и (0;1)f"(x)<0, то на этих промежутках график функци направлен выпуклостью вверх.
Так как на промежутках (-бесконечность; -1) и (1; бесконечность) у"(x)>0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклотью вниз
Так как при переходе через точку х=0 вторая производная не меняет свой знак, то точка х=0 не является точой перегиба.
7. проверим имеет данная функция асимптоты:
а) вертикальные
Так как функция имеет две точки разрыва, то найдем односторонние пределы функции в этих точках ( по недостатку и по избытку)
х=-1
lim ( по недостатку) (x^2/(x^2-1)=+бесконечность
lim ( по избытку) (x^2/(x^2-1)=-бесконечность
х=1
lim ( по недостатку) (x^2/(x^2-1)=-бесконечность
lim ( по избытку) (x^2/(x^2-1)=+бесконечность
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые х=-1 и х= являются вертикальными асимптотами.
б) наклонные вида у=kx+b
k=lim у (x)/x=lim(((x^2/(x^2-1))/x)= lim (x^2/(x^3-x))=0
b=lim(y(x)-kx)= lim(x^2/(x^2-1)=1
следовательно прямая у=1 является горизонтальной асимптотой.
8. все строй график