Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 19 сумма цифр которого на 1 больше их произведения. Ответ: 3211

Можно совершенно иначе.

0) Единственное рассуждение уважаемого Гуру, которое нам пригодится, - о том, что в числе нет нулей. Далее,

1) Утверждение: Если натуральные числа больше 1, то их сумма не больше произведения. Действительно, для двух натуральных чисел, больших 1, это очевидно: при a<=b
ab-a-b = b(a-1)-a >= b-a >= 0.
Для трех натуральных: abc >= ab+c >= a+b+c. Аналогично и для любого кол-ва натуральных. Доказано.

Следовательно, в нашем числе есть хотя бы одна цифра, равная 1. Допустим для удобства, что это цифра d. Тогда abc = abcd = a+b+c+d-1 = a+b+c.

Но произведение трех натуральных равно их сумме только в единственном случае, когда они различны и равны соответственно 1, 2 и 3. Док-во: пусть a<=b<=c.
а) Предположим, что они все больше 1. Тогда abc-a-b-c = c(ab-1)-a-b >= 3c-a-b > 0. Противоречие. Поэтому среди них есть единица (допустим, это a).
б) Отсюда имеем три числа - 1,b,c. Тогда 1*bc - 1-b-c = bc-1-b-c = c(b-1)-(b-1)-2 = (c-1)(b-1)-2 = 0. Следовательно, b=2 и с=3 (т. к. b<=c). Доказано.

Значит, наше число состоит из 2 единичек, тройки и двойки. Можно, конечно, делить все 12 таких чисел на 19 на калькуляторе, но и тут можно сэкономить: согласно признаку Перельмана делимости на 19 (http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st053.shtml), число десятков (не разряд десятков, а именно их количество: например, в числе 1132 - 113 десятков), сложенное с удвоенным числом единиц, должно делиться на 19. Такое число только одно, и оно равно 3211.

Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.
Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.
Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ..). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.
Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым

0) Единственное рассуждение уважаемого Гуру, которое нам пригодится, - о том, что в числе нет нулей. Далее,

1) Утверждение: Если натуральные числа больше 1, то их сумма не больше произведения. Действительно, для двух натуральных чисел, больших 1, это очевидно: при a<=b
ab-a-b = b(a-1)-a >= b-a >= 0.
Для трех натуральных: abc >= ab+c >= a+b+c. Аналогично и для любого кол-ва натуральных. Доказано.

Следовательно, в нашем числе есть хотя бы одна цифра, равная 1. Допустим для удобства, что это цифра d. Тогда abc = abcd = a+b+c+d-1 = a+b+c.

Но произведение трех натуральных равно их сумме только в единственном случае, когда они различны и равны соответственно 1, 2 и 3. Док-во: пусть a<=b<=c.
а) Предположим, что они все больше 1. Тогда abc-a-b-c = c(ab-1)-a-b >= 3c-a-b > 0. Противоречие. Поэтому среди них есть единица (допустим, это a).
б) Отсюда имеем три числа - 1,b,c. Тогда 1*bc - 1-b-c = bc-1-b-c = c(b-1)-(b-1)-2 = (c-1)(b-1)-2 = 0. Следовательно, b=2 и с=3 (т. к. b<=c). Доказано.

Значит, наше число состоит из 2 единичек, тройки и двойки. Можно, конечно, делить все 12 таких чисел на 19 на калькуляторе, но и тут можно сэкономить: согласно признаку Перельмана делимости на 19 (http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st053.shtml), число десятков (не разряд десятков, а именно их количество: например, в числе 1132 - 113 десятков), сложенное с удвоенным числом единиц, должно делиться на 19. Такое число только одно, и оно равно 3211.