Используя показательную форму комплексного числа, вычислить следущее выражение: (√8-√8i)^6+(-1+i)^-5

Для начала, найдем показательную форму числа √8-√8i. Для этого вычислим модуль и аргумент комплексного числа:
|√8 - √8i| = √(8^2 + (-8)^2) = 8
arg(√8 - √8i) = arctg((-√8)/√8) = -π/4

Таким образом, показательная форма числа √8-√8i имеет вид:
z1 = 8 * e^(-π/4 i)

Теперь найдем значение выражения (√8-√8i)^6:
(√8-√8i)^6 = [z1]^6 = 2^(18) * e^(-3π i/2)

Затем найдем значение выражения (-1+i)^-5:
(-1+i)^-5 = [(1-i)/(2)]^5 = (1/32) * e^(5π i/4)

И, наконец, сложим два полученных значения:
(√8-√8i)^6+(-1+i)^-5 = 2^(18) * e^(-3π i/2) + (1/32) * e^(5π i/4)

Ответ: 2^(18) * e^(-3π i/2) + (1/32) * e^(5π i/4).

JND.

Начнем с раскрытия скобок в первом слагаемом:

√8 - √8i = 2√2(1 - i)

Заметим, что (1 - i) - это комплексное число с модулем sqrt(2) и аргументом -pi/4. Поэтому его показательная форма имеет вид:

1 - i = sqrt(2) * exp(-i*pi/4)

Таким образом,

√8 - √8i = 2√2 * sqrt(2) * exp(-i*pi/4) = 4 * exp(-i*pi/4)

Теперь возведем это комплексное число в шестую степень:

(4 * exp(-i*pi/4))^6 = 4^6 * exp(-6i*pi/4) = 4096 * exp(-3i*pi/2)

Далее, рассмотрим второе слагаемое:

(-1 + i)^-5

(-1 + i) - это комплексное число с модулем sqrt(2) и аргументом 3*pi/4. Поэтому его показательная форма имеет вид:

-1 + i = sqrt(2) * exp(i*3*pi/4)

Теперь возведем это комплексное число в отрицательную пятую степень:

(sqrt(2) * exp(i*3*pi/4))^-5 = (sqrt(2))^-5 * exp(-i*15*pi/4) = (1/8) * exp(-3i*pi/4)

Итак, вычисляем сумму двух полученных слагаемых:

4096 * exp(-3i*pi/2) + (1/8) * exp(-3i*pi/4)

Общий множитель у них - это exp(-3i*pi/4), поэтому можно их сложить, используя свойство логарифма произведения:

4096 * exp(-3i*pi/2) + (1/8) * exp(-3i*pi/4) = exp(-3i*pi/4) * (4096 * exp(i*pi/4) + 1/8)

Далее, вычислим значение в скобках:

4096 * exp(i*pi/4) + 1/8 = 4096 * (sqrt(2)/2 + i*sqrt(2)/2) + 1/8 = 2048*sqrt(2) + 2048i*sqrt(2) + 1/8

Таким образом, окончательный ответ:

exp(-3i*pi/4) * (2048*sqrt(2) + 2048i*sqrt(2) + 1/8)