ВУЗы и колледжи

Возведение комплексных чисел в степень. (1+2i)^6. Как решить, используя формулу Муавра?

Не понимаю следующие моменты:
cos(6arctg2) и sin(6arctg2)
Лида Миронова
Лида Миронова
136
Честно говоря, я не вижу, откуда тут взялся арктангенс. Хотя математику, как для химика, знаю неплохо.
Берем модуль... sqrt(1+4) = корень с пяти.
Корень с пяти в 6-й степени - 125, то бишь 5 в кубе.

Угол, кстати, в градусах получился равным 63 с копейками. Поскольку степень шестая, умножаем 63 на 6, и получим 380 с чем-то.... Отнимаем 360... И получаем

125(cos 20,6 degrees + i sin 20,6 degrees)= 125(0,936 + 0,352 i) = 117 + 44i... Цифры получились целыми.... если калькулятор очень умный, и умеет возиться с косинусами и синусами.
Петя Клеванский
Петя Клеванский
1 605
Лучший ответ
Петя Клеванский Так это и есть формула Муавра... (x+yi)^n = R^n (cos nφ+ i sin nφ), где
R - модуль комплексного числа = sqrt(x^2+y^2),
φ - угол, образующийся из условий cos φ= x/R, sin φ=y/R
Светлана Ефимова Хороший ответ .Правильный. Для химика tg(ф) =2/1=2; ф=arctg(2).В формулу подставляем cos(6*arctg(2))=cos(20.6) и т. д.
Петя Клеванский В данном случае, кстати, использовать грады вместо градусов было бы даже немного удобнее
Ответ. z=((1+2i)^6; |z|=2,236; arg(z)=1,107; z=(2,236*e^(1,107*i))^6=117,018+43,888*i;
((1+2i)^6=117+44*i;
Наталья Адамова
Наталья Адамова
50 372
77-fuv Осталось понять, где же здесь используется формула Муавра.
А мне не понятно, чего тут можно не понимать. Кстати, показательная форма куда удобнее тригонометрической.
РШ
Ричард Шарп
86 892
Юлия Тетерина Ответьте на мой вопрос https://otvet.mail.ru/question/198307307 , пожалуйста. Заранее спасибо!
Прямой путь - это воспользоваться формулами функций кратных углов и тождествами cos(arctg(a))=1/√(1+a²) и sin(arctg(a))=a/√(1+a²), в данном случае cos(arctg2)=1/√5, sin(arctg2)=2/√5
Возможно, есть какой-то простой путь раскрытия e^(6i*arctg2)
Асель Алдамасова
Асель Алдамасова
31 768
117-4*i
ЕЧ
Елена Чеснокова
20 161
Елена Чеснокова 117+44*i ( так верно!)
Прямой путь - это воспользоваться формулами функций кратных углов и тождествами cos(arctg(a))=1/√(1+a²) и sin(arctg(a))=a/√(1+a²), в данном случае cos(arctg2)=1/√5, sin(arctg2)=2/√5
Наталия Кутырчева
Наталия Кутырчева
16 163
Асель Алдамасова Что, курица, своей головы у тебя на плечах нет? Чего ответ копируешь?
Прямой путь - это воспользоваться формулами функций кратных углов и тождествами cos(arctg(a))=1/√(1+a²) и sin(arctg(a))=a/√(1+a²), в данном случае cos(arctg2)=1/√5, sin(arctg2)=2/√5
Возможно, есть какой-то простой путь раскрытия e^(6i*arctg2)
Гульсина Абашева
Гульсина Абашева
393
Берем модуль... sqrt(1+4) = корень с пяти.
Корень с пяти в 6-й степени - 125, то бишь 5 в кубе.

Угол, кстати, в градусах получился равным 63 с копейками. Поскольку степень шестая, умножаем 63 на 6, и получим 380 с чем-то.... Отнимаем 360... И получаем

125(cos 20,6 degrees + i sin 20,6 degrees)= 125(0,936 + 0,352 i) = 117 + 44i...
Светлана Кудрина
Светлана Кудрина
381

Похожие вопросы