Комплексные числа это что ?

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.



Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.



Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над
действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг
на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·  = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

Это результат расширения поля вещественных чисел с помощью элемента i, для которого по определению i*i=-1. Это расширение состоит из элементов вида a + b*i, где a,b вещ.числа, а операции сложения и умножения задаются так, чтобы множество имело структуру поля (то есть выполнены свойства линейности). Полученное поле, по сравнению с полем R, алгебраически замкнуто - всякий полином степени >=1 имеет в нем корень.

Также данное поле можно задать как фактор-кольцо кольца многочленов над R по многочлену x^2 + 1. (это называется поле разложения). Здесь уже нет мнимых объектов, поле состоит из многочленов.

Это числа с мнимой и вещественной частью, мнимые числа эта 2д числа, все остальные - 1д.