Что такое комплексное число?

Ко́мпле́ксные [1] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (один из квадратных корней из числа - 1).[2]
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

читай пункт 17
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
здесь очень просто и понятно

matemrulez.narod.ru/complex_numbers.htm

сначала для счёта предметов использовались натуральные числа, затем необходимость деления привела к понятию дробных (+) чисел, затем необходимость выполнения вычитания привела к понятиям: 0 и отрицательных, и наконец, необходимость извлечения корня из (+) чисел- к понятию иррациональных чисел. все это выполнимо на множестве действительных чисел. однако остались и не выполнимые операции на данном множестве. например: извлечение квадратного корня из (-) числа. значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных. вот это расширение- комплексные числа