Помогите пожалуйста решить пределы, комплексные числа, сходимости ряда!

1) Ну можно и без лопиталя, а по Лопиталю третья производная вверху, третья внизу 7*3*2/(4*3*2) = 7/4, но брать придётся по одной последовательно
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) z_1 - z_2 = -4 + 5i, z_1 * z_2 = (1 + 4i) (5 - i) = 5 + 20 i - i + 4 = 9 + 19 i
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) lim_(n->\infty) a_(n+1)/a_n = lim_(n->\infty) (5/2^(n+1))/(5/2^n) = lim_(n->\infty)1/2 = 1/2 < 1 -сходится, можно даже сумму посчитать
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Здесь веселее. Рассмотрим частичную сумму ряда:
S_N = \sum_(n=1)^N 1/[(2n-1)(2n + 1)]
Представим каждое отдельное слагаемое в виде:
1/[(2n-1)(2n + 1)] = (1/2)*[1/(2n - 1) - 1/(2n + 1)]
Теперь начнём выписывать частичные суммы:
S_N = (1/2)*(1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 +1/5 - 1/5 + .+1/(2N - 1) - 1/(2N + 1)) = 1/2 [1 - 1/(2N + 1)]
Вообще если вы учитесь не на математических специальностях, для частичных сумм этого достаточно. Если же вы один из тех, кто по счастью оказался на математических специальностях - то выражение выше ещё не доказано. Доказательство проводят обычно по индукции:
S_(N +1) = S(N) + (1/2)*[1/(2(N+1) - 1) - 1/(2(N +1) + 1)] = 1/2 [1 - 1/(2(N+1) + 1)]
Если же приказа следить за математической строгостью не поступало, то:
S = lim_(N->\infty) S_N = 1/2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) Подставляем e^(kx), получаем характеристическое уравнение:
k^2 + 3 k = 0
k_1 = 0, k_2 = -3
Общее решение: y = A + B e^(-3x), A, B, - произвольные постоянные.