Помогите с заданиями по комплексным числам

1) Для возведения комплексного числа в степень и извлечения корня из него можно использовать тригонометрическую или показательную форму. По определению, модуль комплексного числа равен длине радиус-вектора, соответствующего этому числу на комплексной плоскости, а аргумент - угол между этим радиус-вектором и положительным направлением оси x.

Для z1=−5−3i
модуль равен |z1|=√(5^2+3^2)=√34
, а аргумент равен Arg(z1)=arctg(−3/−5)−180°≈−30.96°
.

Для z2=−2−i
модуль равен |z2|=√(2^2+1^2)=√5
, а аргумент равен Arg(z2)=arctg(−1/−2)−180°≈−153.43°
.

Тогда z1^3=(√34(cos(-30.96°)+isin(-30.96°)))^3=34^(3/2)(cos(-92.88°)+isin(-92.88°))
.

Из этого следует, что |z1^3|=34^(3/2)≈99.38
и Arg(z1^3)=−92.88°
.

Аналогично, кубический корень из z2 можно найти по формуле:

куб корня из z2=(√5(cos(-153.43°)+isin(-153.43°)))^(1/3)=(5^(1/6))(cos((-153.43+360k)/3)+isin((-153.43+360k)/3))
,

где k - целое число от 0 до 2.

Для k=0 получаем куб корень из z2=(5^(1/6))(cos(-51.14°)+isin(-51.14°))
.

Из этого следует, что |куб корня из z2|=5^(1/6)≈1.31
и Arg(куб корня из z2)=−51.14°
.

Ответ: |z1^3| = 99.38 Arg(z1^3)= -92.88

|куб корня из z2|= 1.31 Arg(куб корня из z2)= -51.14


2) Для кубического уравнения с действительными коэффициентами верно, что сумма его корней равна противоположному знаку коэффициента при x^2 . Также известно, что если у уравнения есть комплексный корень x1=a+bi , то он имеет также сопряженный корень x2=a−bi . Используя эти свойства, можно найти значение суммы коэффициентов A+C.
Пусть x3

третий корень уравнения. Тогда по формуле Виета:
x1+x2+x3=−B/A

Подставляя известные значения x1 и x2, получаем:

(1+2i)+(1−2i)+x3=−B

Упрощая, получаем:

x3=−B−2

Так как A=1 , то B=-2-x3 .

Теперь рассмотрим произведение корней уравнения:

x1⋅x2⋅x3=D/A

Подставляя известные значения x1 и x2 и B=-2-x3 , получаем:

(1+2i)⋅(1−2i)⋅x3=D

Упрощая и выражая x3 , получаем:

x3=D/5+4/5

Складывая два выражения для x3 и приравнивая их правые части, получаем:

D/5+4/5=−B−2

Отсюда находим значение B:

B=−D/5−14/5

Теперь можем найти значение C по формуле Виета:

C/A=x1⋅x2+x1⋅x3+x2⋅x3

Подставляя известные значения x1 и x2 и B=-D/5-14/5 , получаем:

C=(1+2i)⋅(1−2i)+(1+2i)⋅(D/5+4/5)+(1−2i)⋅(D/5+4/5)

Упрощая и выражая C в виде дроби с общим знаменателем 25 , получаем:

C=(9D+70)/25

Тогда сумма коэффициентов A+C равна:

A+C= 25+(9D+70)/25 = (9D+95)/25

Ответ: A+C=(9D+95)/25


3) Интерполяционный многочлен Лагранжа — это многочлен минимальной степени, который принимает заданные значения в заданных точках. Он имеет вид:
L(x)=∑i=0nfi⋅li(x)

где fi

это значение функции в i-й точке, а li(x)
это базисный многочлен Лагранжа для i-й точки. Базисные многочлены вычисляются по формуле:
li(x)=∏j=0,j≠in(x−xj)/(xi−xj)

где xj

это j-я точка интерполяции.
Для данной таблицы значений функции f , можно найти интерполяционный многочлен Лагранжа следующим образом:

Найти базисные многочлены для каждой точки:
l0(x)=(x−2)(x−3)/((1−2)(1−3))=(x2−5x+6)/2

l1(x)=(x−1)(x−3)/((2−1)(2−3))=(x2−4x+3)/(-1)

l2(x)=(x−1)(x−2)/((3−1)(3−2))=(x2−3x+2)/2

Умножить базисные многочлены на соответствующие значения функции и сложить их:
L(x)=f0⋅l0(x)+f1⋅l1(x)+f2⋅l2(x)

L(x)=5⋅(x^2 −5 x + 6 )/ 2 − 7 ⋅( x^ 2 −4 x + 3 )/ ( − 1 ) + ( x^ 2 −3 x + 2 )/ ( 4 )

Упростить полученное выражение:

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^ ^

L(x)=(11/4)x^( ) - (13/8)x - (7/8)