Что такое комплексные числа?

А что там не понятного? Просто представление числа такое: Z = a + ib, где a - вещественная часть, b - мнимая.
Если b = 0, то получится чисто вещественное число.
i=корень (-1) - мнимая единица. Введена, чтоб можно было извлекать корень из отрицательных чисел, результатом как раз будет комплексное число. Т. е. ты отдельно извлекаешь корень из (-1), получая i, а потом как обычно.
Комплексное число представляется в разных видах, наиболее часто используемое - в показательной форме:
Z = |z|*e^iarctg(b/a), |z| = корень (a^2+b^2)
В этой форме применяется для исследований различных сигналов, в том числе для анализа лазерного резонатора и др.

Подробности смотри тут

Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению i2 = − 1. (В физике символ i часто заменяют на j, чтобы не путать с стандартным обозначением электрического тока (i)).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8383
http://www.pm298.ru/reshenie/compl.php
http://ru.wikibooks.org/wiki/Компл ексные_числ а
http://ru.wikipedia.org/wiki/Мнимые_числ а

Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (один из квадратных корней из числа - 1), х-действительная часть, а у-мнимая часть.