Натуральные числа. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и

Наибольший общий делитель

Общий делитель. Наибольший общий делитель.

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД) .

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2) записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,

3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5) перемножить эти степени.

П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .

Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

и перемножим их:

НОД = 22 · 31 = 12 .
Наименьшее общее кратное

Общее кратное. Наименьшее общее кратное.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

и перемножаем их:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .

ну на 2 делятся только те числа, которые заканчиваются на чтную цифру, на 5 - только те которые заканчиваются на 5 или 0 (на 10 - только 0), на 3 - те, сумма цифр в которых делится на 3, на 9 по тому же принциау что и на тройку. простое число - это то которое делится на себя и на единицу, составное - то, у которого кроме себя самого и единицы есть еще делители

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8... называются натуральными или целыми положительными числами. Число "0" не является делителем, на "0" делить нельзя!! ! Чётные числа делятся на 2 без остатка, все остальные числа - нечётные.
Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, или две его последние цифры - нули.
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 10 тогда, когда его последняя цифра 0.
Число называется простым, когда оно делится только на 1 и само себя.
Число называется составным, когда оно делится не только на 1 и само себя, но ещё и на другие числа.

Простые и составные числа
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными числами. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание).

111

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n — это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n. Обозначается НОК (m,n) или [m,n], а в английской литературе \mathrm{lcm}(m,n).

НОК для ненулевых чисел m и n всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

(m,n)\cdot[m,n]=m\cdot n
Это частный случай более общей теоремы: если a_1, a_2, \dots, a_n — ненулевые числа, D — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

D = [a_1, a_2, \dots, a_n] \cdot \left(\frac{D}{a_1}, \frac{D}{a_2}, \dots , \frac{D}{a_n}\right)
Взаимно простые числа [править | править вики-текст]
Основная статья: Взаимно простые числа
Числа m и n называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы. Для таких чисел НОД (m,n) = 1. Обратно, если НОД (m,n) = 1, то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа a_1, a_2, \dots a_k, где k\geq 2, называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД (6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления [править | править вики-текст]
Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД (m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
m=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},
где p_1,\dots,p_k — различные простые числа, а d_1,\dots,d_k и e_1,\dots,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m,n) и НОК (m,n) выражаются формулами:

(n,m)=p_1^{\min(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)},
[n,m]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.
Если чисел более двух: a_1, a_2,\dots a_n, их НОД находится по следующему алгоритму:

d_2=(a_1, a_2)
d_3=(d_2, a_3)
………
d_n=(d_{n-1}, a_n) — это и есть искомый НОД.
Свойства [править | править вики-текст]
Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД (m, n).
Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m, n).
Если m делится на n, то НОД (m, n) = n. В частности, НОД (n, n) = n.
(a\cdot m, a\cdot n) = |a|\cdot (m, n) — общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если D=(m, n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, \left({\frac{m}{D},\frac{n}{D}}\right)=1. Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если a_1, a_2 взаимно просты, то:
(a_1 \cdot a_2, b) = (a_1, b) \cdot (a_2, b)
Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
\left\{ a\cdot m + b\cdot n\mid a,b\in\Z \right\}
и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:
(m,n) = u\cdot m + v\cdot n.

я уверен на сто % что 0

нет не 0

спс