Решим методом разделения переменных первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности в круге:
Рассмотрим простейшую задачу, когда начальные и граничные условия не зависят от угла :
, ,
, ,
, .
Поскольку решение, естественно, не зависит от , ,то
уравнение теплопроводности (с оператором Лапласа в полярных координатах )
имеет вид , .
Как принято в методе разделения переменных, начнём с рассмотрения простейшей вспомогательной задачи:
найти отличное от тождественного нуля решение уравнения
, ,
Будем искать решение этой задачи в виде .
Подставив это выражение в уравнение, получим поле простых преобразований
,
,
.
Для есть задача Штурма-Лиувилля
,
собственные значения которой, собственные функции – ,
где - функция Бесселя нулевого порядка, а – её нули, решения уравнения .
На приведенном ниже рисунке изображён график функции Бесселя нулевого порядка и выписаны значения десяти первых нулей. Для дальнейшего важно помнить, что функция Бесселя первого порядка в точках отлична от нуля (на втором графике изображены обе функции Бесселя).
Итак, ,
Соответствующие решения уравнения для , ,функции
и функции – решения вспомогательной задачи. Важно помнить, что все .
Теперь будем искать решение первой смешанной задачи с независящими от начальным и граничными условиями, в виде
.
Неизвестные коэффициенты находим из начального условия как коэффициенты Эйлера-Фурье ряда по функции :
,
.
Итог.
Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности в круге:
, ,
, ,
, .
Решение:
, .
Задача 1. Рассмотрим задачу об остывании бесконечно длинного цилиндра радиуса, равномерно нагретого в начальный момент до некоторой температуры, если на его поверхности поддерживается нулевая температура.
Предположим, что начальная температура не зависит от . Тогда, очевидно, температура в дальнейшем тоже не будет зависеть от и, поскольку цилиндр нагрет равномерно, температура внутренних точек цилиндра будет зависеть только от расстояния до поверхности и, следовательно, будет зависеть только от :
, ,
, ,
Решение задачи методом разделения переменных:
,
,
При вычислении интеграла использовано соотношение :
.
Получили решение задачи в виде ряда .
Этот ряд сходится очень быстро, при больших значениях можно ограничиться первым членом ряда.
На приведенном ниже рисунке изображены графики зависимости температуры от радиуса в моменты времени, на которых видно как начинается остывание цилиндра (в сечении плоскостью ). Графики построены в Mathcad.
В примере 1 (см. ниже) приведен рабочий документ Mathcad, в котором построено решение этой задачи и проиллюстрирована динамика поведения решения.
Задача 2. Процесс диффузии неустойчивого газа, скорость распада которого пропорциональна концентрации, описывается уравнением
.
Здесь – концентрация диффундирующего вещества.
Большой интерес представляют процессы диффузии при наличии цепных реакций. Цепные реакции характеризуются тем, что частицы вещества, вступая в реакцию с окружающей средой, «размножаются». Так, например, при столкновении нейтронов с «активными» я драми урана происходит реакция деления ядер, сопровождающаяся появлением новых нейтронов, число которых больше единицы. Эти нейтроны в свою очередь вступают в реакцию с другими активными ядрами, вызывая их деление с выделением новых нейтронов и т. д. Таким образом происходит процесс размножения нейтронов, носящий характер цепной реакции.
Здесь мы рассмотрим цепную реакцию в «диффузионном приближении»
,
поскольку цепная реакция эквивалентна наличию источников диффундирующего вещества (нейтронов), пропорциональных концентрации (плотности нейтронов).
Рассмотрим задачу
, внутри ,
, .
Выполнив замену ,
,
,
получим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности:
,
.
.
Решение этой задачи можно вычислить методом разделения перем
