Найти максимальное значение

По-детски:
Найдем наибольшее значение параметра а, при котором система
{ x+y+z=a,
{ 3x² + 2y² + z =1
имеет решение.
Выразим z из первого уравнения : z=a-x-y и подставим во второе, получим:
3x² + 2y² + a - x - y - 1 = 0.
Выделим полные квадраты:
3(x-1/6)² + 2(y-1/4)² + a - 29/24 = 0
3(x-1/6)² + 2(y-1/4)² = - a + 29/24
Уравнение имеет решение, если - a + 29/24 ≥ 0, т. е. a ≤ 29/24.
Наибольшее значение а (а значит и x+y+z), равноe 29/24, достигается при х=1/6, у=1/4, z=19/24.
Ответ: 29/24

Составляете функцию 4-х переменных (метод Лагранжа):
F(x,y,z,w) = x + y + z + w (3 x^2 + 2 y^2 + z - 1)
И ищите ее максимум:
Fx = 1 + 6 w x = 0
Fy = 1 + 4 w y = 0
Fz = 1 + w = 0
Fw = 3 x^2 + 2 y^2 + z - 1 = 0
Из этой системы уравнение получается, что есть только одна точка, в которой может быть экстремум:
x = 1/6
y = 1/4
z = 19/24
w = -1
Подставляете найденные x, y, z в вашу исходную функцию:
x + y + z = (1/6) + (1/4) + (19/24) = 29/24
Проверьте, является ли это максимумом (а не минимумом).

29

Производная