Сложная математическая задача

=-1•2+1•4=2

Пусть:
A - матрица, x - вектор, k - число
Если:
A x = k x
тогда число k - собственное число матрицы A, а ненулевой вектор x - собственный вектор матрицы A.
(Считайте это определением).
A x = k x
A x = k E x
(E - единичная матрица)
A x - k E x = 0
(A - k E) x = 0
Либо: x= 0, либо det(A - k E) = 0.
x - ненулевой вектор, тогда:
det(A - k E) = 0
Последнее равенство - уравнение для собственных значений.
Т. к. ваша матрица A - квадратная, то уравнение будет квадратным.
Думаю, вы справитесь.
Когда найдете такие k, возвращайтесь к системе уравнений для собственных векторов:
(A - k E) x = 0
(это однородная система уравнений для компонентов вектора x).
Сюда надо подставить по очереди все найденные собственные числа, и для каждого собственного числа найти собственный вектор.

Что такое собственный вектор и собственные значения? Собственный вектор матрицы, это такой вектор что при умножении матрицы на него, получается точно такой же вектор умноженный на какую-то константу. Константа называется - собственным значением. Тогда просто запишем это определение в математической форме:
А*(x, y)=k(x, y) - это просто система из двух уравнений:
-х+у=kх
4х+2у=kу
Решаем её и получаем два собственных значения для k: k1=-2, k2=3. подставляя эти значения находим что для k=-2, x=-у, а для k=3, у=4х. Эти уравнения задают бесконечное число собственных векторов двух типов которые отличаются только множителем. Обычно выбирают красивые какие-нибудь, скажем для первого будет (1, -1), а для второго (4, 1).