Объясните, пожалуйста, интегралы

Их решение сводится к приведению подынтегральной функции к табличному виду. Т.е. к виду, который присутствует в справочной таблице интегралов, в которой для каждого интеграла есть конкретный ответ. Первообразной является функция, производная которой и стоит под знаком интеграла

"Что это вообще такое?" - считайте, что это такая штука (оператор), которая делает из одной функции другую.
Дали вам:
∫ x^2 dx
И вам надо написать в ответ:
(1/3) x^3 + C
Почему? А потом что если взять производную от ответа, получится подынтегральная функция:
[(1/3) x^3 + C]' = x^2
Можно сказать, что интеграл "отменяет" действие проивзодной (если не считать произвольной константы C). Чиселка C тут имеет любое значение (главное, что она не содержит x). Производная от константы равна нулю, поэтому на производную эта C никак не повлияет:
[(1/3) x^3 + 1]' = x^2
[(1/3) x^3 + 7]' = x^2
[(1/3) x^3 - 5]' = x^2
"как их решать?" - надо различными махинациями сделать так, чтобы функция под интегралом стала выглядеть так же, как и функция в таблице интегралов. Потом просто надо просто написать ответ, воспользовавшись таблицей (и не забыть произвольную константу добавить).
Какие есть махинации для того, чтобы менять вид выражения под интегралом? Ну...
1) Постоянные (не зависящие от x) множители можно выносить из под знака интеграла и вносить под него:
∫ 7 x^2 dx = 7 ∫ x^2 dx
2) Интеграл суммы равен сумме интегралов:
∫ [x^2 + ln(x)] dx = ∫ x^2 dx + ∫ ln(x) dx
∫ [x^2 - ln(x)] dx = ∫ x^2 dx + ∫ [- ln(x)] dx = ∫ x^2 dx - ∫ ln(x) dx
3) Ну и "замены". Если вы скажете, что x - это какая то функция от новой переменной t:
x = x(t)
то дифференциал можно переписать так:
dx = x'(t) dt
и вместо x в интеграле надо подставить выражение x(t). Относительно t получится другой интеграл. Важно ументь подобрать такую замену, чтобы интеграл стал проще, или лучше сразу стал табличным:
∫ sin(3 x) dx
3 x = t
или:
x = t / 3
тогда дифференциал:
dx = dt / 3
и делаем замену в интеграле:
∫ sin(3 x) dx = ∫ sin(t) (dt / 3) = (1 / 3) ∫ sin(t) dt
Или еще пример:
∫ x sin(x^2) dx
x^2 = t
или:
x = √ t
дифференциал:
dx = (1 / 2) dt / √t
И интеграл примет вид:
∫ √(t) sin(t) {(1 / 2) dt / √ t} = (1 / 2) ∫ sin(t) dt
Найдите вон видосик на ютубе, с разбором, и потренируйтесь под него.

https://www.youtube.com/watch?v=ysGdt9ZLiQQ
Вообще как говорила преподавательница по матану в ВУЗе - есть находить производные - это ремесло, то брать интегралы это искусство.

Производные изучала? Грубо говоря Первообразная это то, что было у производной, до того, как она стала ею. Скажем, ты находила производную у x^2, ты получила 2x. У функции 2x первообразной будет x^2.

Таблица первообразных как раз табличка функций, по которой ты и можешь найти.
Если ты простые интегралы ищешь (не какие-нибудь двойные, криволинейные), то обычно сводится к тому, что ты пытаешься найти функцию, которая есть в табличке и подставляешь.

это площадь кривой фигуры